Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Une ville compte une population de $$34$$ $$000$$ habitants en $$2007$$. On observe depuis que chaque année, la ville perd $$500$$ habitants.
Comme $$v_0 = 34$$ $$000$$ alors il vient que :
$$v_1=v_0-500$$
$$v_1=34000-500$$ ainsi
De même :
$$v_2=v_1-500$$
$$v_2=33500-500$$ ainsi

Chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante qui correspond à la raison ici $${\color{blue}{r=-500}}$$ .
La suite $$\left(v_n\right)$$ est donc une suite arithmétique de raison $$−500$$ et de premier terme $$v_0 = 34$$ $$000$$.
Ainsi :

Dans notre cas, le premier terme ici vaut $$v_0 = 34$$ $$000$$ et la raison $$r=-500$$
Il en résulte donc que : $$v_{n} =34000 +n\times\left(-500\right)$$
Autrement dit :

$$v_{\red{n}}$$ est le nombre d’habitants au $$1$$^er janvier de l’année $$\left(2022+\red{n}\right)$$.
$$2028=2022+\red{6}$$ . Il nous faut donc calculer $$v_{\red{6}}$$. Il vient alors que :
$$v_{6} =34000-500\times6$$
Ainsi :

Dans cette situation, nous souhaitons savoir en quelle année la population sera inférieur à $$25$$ $$000$$ habitants.
Pour répondre à cette question, il nous faut résoudre une inéquation : $$v_n\le 25000$$
Il vient alors :
$$34000-500n\le 25000$$
$$-500n\le 25000-34000$$
$$-500n\le -9000$$
$$n\ge \frac{-9000}{-500}$$
Ainsi : $$n\ge 18$$
Or $$v_{\red{n}}$$ est le nombre d’habitants au $$1$$^er janvier de l’année $$\left(2022+\red{n}\right)$$.
D'où $$2022+\red{18}=2040$$ .
Selon ce modèle, la population sera inférieur à $$25$$ $$000$$ habitants au $$1$$^er janvier $$2040$$ .