Mise en situation sous formes de petits problèmes - Exercice 2

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Depuis le dernier mondial, le nombre de licenciées en football féminin est en hausse annuelle de 15%15\% par an.
On considère dans cet exercice que cela restera désormais vrai chaque année.
En 20192019, en France, il y avait 184184 228228 licenciées femmes. (Source : www.mouv.fr)
Pour tout entier nn, on note unu_n, le nombre de licenciées femmes en France l’année (2019+n)\left(2019+n\right) .
Question 1

Donner la valeur de u0u_0.

Correction
Pour tout entier nn, on note unu_n le nombre de licenciées femmes en France l’année (2019+n)\left(2019+n\right) .
Ainsi u0u_0 est le nombre de licenciées femmes en France l’année 20192019 d'où :
u0=184u_0=184 228228
Question 2

Calculer u1u_1 et interpréter ce résultat . Arrondir le résultat à l'unité.

Correction
Pour tout entier naturel nn, on note unu_{\red{n}} le nombre de licenciées femmes en France l’année (2019+n)\left(2019+\red{n}\right) .
Il en résulte que u1u_{\red{1}} est le nombre de licenciées femmes en France l’année 2019+12019+\red{1} c'est à dire en 20202020 .
Dire le nombre de licenciées en football féminin est en hausse annuelle de 15%15\% par an revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le nombre de licenciées par 1+15100=1,151+\frac{15}{100}=1,15 chaque année .
Ainsi :
u1=1,15×u0u_1=1,15\times u_0
u1=1,15×184228u_1=1,15\times 184228
Ainsi :
u1=211u_1=211 862862
arrondi à l'unité.
En 20202020, selon ce modèle, le nombre de licenciées en football féminin serait de 211211 862862 .
Question 3

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} . Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est une suite géométrique dont on précisera la raison .

Correction
Dire le nombre de licenciées en football féminin est en hausse annuelle de 15%15\% par an revient à multiplier{\color{blue}\text{multiplier}} le nombre de licenciées par 1+15100=1,151+\frac{15}{100}=1,15 chaque année .
La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est u0=184u_0=184 228228 et sa raison est q=1,15q = 1,15.
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique.
  • L'expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n} est donnée par la relation de récurrence : un+1=un×qu_{n+1} =u_{n}\times q où qq est la raison{\color{blue}\text{raison}} de la suite géométrique.
    • Ainsi :
    un+1=un×1,15u_{n+1} =u_{n}\times1,15
    Finalement :
    un+1=1,15unu_{n+1} =1,15u_{n}

    Question 4

    Déterminer l'expression du terme général unu_n ou encore exprimer unu_n en fonction de nn .

    Correction
    Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn ou encore le terme général de la suite unu_{n} est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, la suite (un)\left(u_{n}\right) est donc une suite géométrique. Son premier terme est u0=184u_0=184 228228 et sa raison est q=1,15q = 1,15.
    Il en résulte donc que :
    un=184228×1,15nu_{n} =184228\times1,15^{n}
    Question 5

    Donner le nombre de licenciées femmes que l’on peut espérer en France en 20262026.

    Correction
    unu_{\red{n}} le nombre d’habitants pour l’année 2019+n2019+\red{n}
    2026=2019+72026=2019+\red{7} . Il nous faut donc calculer u7u_{\red{7}}. Il vient alors que :
    u7=184228×1,157u_{7} =184228\times1,15^{7}
    Ainsi :
    u7=490u_{7} =490 450450
    arrondi à l'unité car 18000×(1,047)7≈490450,118000\times\left(1,047\right)^{7}\approx490450,1 .
    Selon ce modèle, en 20262026 le nombre de licenciées femmes serait de 490490 450450 .

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