Sens de variation d'une suite géométrique à termes strictement positifs - Exercice 4

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La suite (un)\left(u_{n}\right) est définie, pour tout entier naturel nn, par un=7n8nu_{n}=\frac{7^n}{8^n}. La suite (un)\left(u_{n}\right) est à termes strictement positifs.
Question 1

Déterminer u0u_0 .

Correction
Soit nn un entier naturel.
Comme un=7n8nu_{n}=\frac{7^n}{8^n} alors u0=7080=11u_{0}=\frac{7^0}{8^0}=\frac{1}{1} donc
u0=1u_{0}=1
.
Question 2

Justifier que la suite (un)\left(u_n\right) est géométrique.

Correction
Soit nn un entier naturel, nous savons que un=7n8nu_{n}=\frac{7^n}{8^n}. Nous allons écrire la suite (un)\left(u_n\right) sous une autre forme.
    Soient xx et yy deux réels dont y≠0y\ne0 et aa un entier naturel
  • (xy)a=xaya\left(\frac{x}{y} \right)^{a} =\frac{x^{a} }{y^{a} }
Ainsi :
un=7n8nu_{n}=\frac{7^n}{8^n} ce qui nous donne un=(78)nu_n=\left(\frac{7}{8}\right)^n
Soit (un)\left(u_n\right) une suite dont les termes sont strictement positifs.
Si un+1un=Q\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =Q où QQ est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est géométrique. Dans ce cas, le réel QQ sera la raison de la suite géométrique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=(78)nu_n=\left(\frac{7}{8}\right)^n alors :
un+1=(78)n+1u_{n+1} =\left(\frac{7}{8}\right)^{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} } .
un+1un=(78)n+1(78)n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\left(\frac{7}{8}\right)^{n+1} }{\left(\frac{7}{8}\right)^{n} } équivaut successivement à :
Soit xx un réel non nul.
  • xaxb=xa−b\frac{x^{a} }{x^{b} } =x^{a-b}
un+1un=(78)n+1−n\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\left(\frac{7}{8}\right)^{n+1-n}
un+1un=78\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{7}{8}
Il en résulte que la suite un=7n8nu_{n}=\frac{7^n}{8^n} est une suite géométrique de raison 78\frac{7}{8}.
Lorsque la suite explicite est de la forme a×qna\times q^{n} , alors la suite est géométrique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1un\frac{u_{n+1} }{u_{n} }.
Question 3

Déterminer, enfin, le sens de variation de la suite (un)\left(u_n\right) .

Correction
Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} strictement positif alors :
  • Si 0<q<10<q<1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
  • Si q>1q>1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
  • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
La raison q=78q=\frac{7}{8} ainsi 0<q<10<q<1 et u0=1>0u_{0}=1>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.

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