Etudier le sens de variation d’une suite $$(u_{n})$$ à l'aide de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ - Exercice 2

On rappelle d'après les hypothèses que $$n$$ est un entier non nul.
De plus, pour tout $$n>0$$ on vérifie facilement que $$2^n>0$$ et $$5>0$$. Il en résulte donc que tous les termes de la suite sont strictement positifs.$$\red{\text{ Lorsque qu'une suite s'exprime avec une puissance, on peut privilégier la méthode ci-dessous.}}$$
1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
On vérifie aisément que $$u_{n} =\frac{2^{n}}{5} >0$$.
Comme $$u_{n} =\frac{2^{n}}{5}$$ alors :
$$u_{n+1} =\frac{2^{n+1}}{5}$$
2^ème étape : Calcul de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ puis comparer de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ à $$1$$.
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\dfrac{2^{n+1} }{5} }{\dfrac{2^{n} }{5} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{5} \times \frac{5}{2^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{2^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =2^{n+1-n}$$
Ainsi :
Or $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1$$
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.

On rappelle d'après les hypothèses que $$n$$ est un entier non nul.
De plus, pour tout $$n>0$$ on vérifie facilement que $$2^n>0$$ et $$n>0$$. Il en résulte donc que tous les termes de la suite sont strictement positifs.$$\red{\text{ Lorsque qu'une suite s'exprime avec une puissance, on peut privilégier la méthode ci-dessous.}}$$
1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =\frac{2^{n}}{n}$$ alors :
$$u_{n+1} =\frac{2^{n+1}}{n+1}$$
2^ème étape : Calcul de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ puis comparer de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ à $$1$$.
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\dfrac{2^{n+1} }{n+1} }{\dfrac{2^{n} }{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n+1} }{n+1} \times \frac{n}{2^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2^{n} \times2}{n+1} \times \frac{n}{2^{n} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\cancel{2^{n}} \times2}{n+1} \times \frac{n}{\cancel{2^{n}} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{2n }{n+1 }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{n+n }{n+1 }$$
Pour tout réel $$n$$ non nul, on peut écrire que $$n>1$$ et donc $$n+n>1+n$$ et ainsi :
Or $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \ge 1$$
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.

On rappelle d'après les hypothèses que $$n$$ est un entier non nul.
De plus, pour tout $$n>0$$ on vérifie facilement que $$2^n>0$$ et $$n+1>1>0$$. Il en résulte donc que tous les termes de la suite sont strictement positifs.$$\red{\text{ Lorsque qu'une suite s'exprime avec une puissance, on peut privilégier la méthode ci-dessous.}}$$
1^ère étape : Exprimer $$u_{n+1}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$u_{n} =\frac{n+1}{2^n}$$ alors :
$$u_{n+1} =\frac{n+2}{2^{n+1}}$$
2^ème étape : Calcul de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ puis comparer de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} }$$ à $$1$$.
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{\dfrac{n+2 }{2^{n+1}} }{\dfrac{n+1 }{2^{n}} }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{ n+2}{2^{n+1}} \times \frac{2^{n}}{ n+1}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{n+2}{2^{n} \times2} \times \frac{2^{n}}{n+1 }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{n+2}{\cancel{2^{n}} \times2} \times \frac{\cancel{2^{n}}}{n+1 }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{n+2 }{2\times\left(n+1\right) }$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } =\frac{n+2 }{2n+2 }$$
Pour tout réel $$n$$ non nul, on peut écrire que $$2n>n$$ et donc $$2n+2>n+2$$ et ainsi :
Or $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } \le 1$$
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.