Etudier le sens de variation d’une suite $$(u_{n})$$ à l'aide de $$u_{n+1} -u_{n}$$ - Exercice 3

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =u_{n} -5$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaitre l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} -5$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =-5$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$ alors la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =u_{n} -\sqrt{n}$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaitre l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} -\sqrt{n}$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =-\sqrt{n} .$$
Comme $$n$$ est un entier naturel non nul, alors $$\sqrt{n} \ge 0$$ donc que $$-\sqrt{n} \le 0$$.
Or $$u_{n+1} -u_{n} =-\sqrt{n}$$ donc on peut conclure que $$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$
Finalement, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =u_{n} +\left(n+1\right)^{3}$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaître l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} +\left(n+1\right)^{3}$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =\left(n+1\right)^{3}$$
Comme $$n$$ est un entier naturel non nul, alors $$\left(n+1\right)^{3} \ge 0$$.
Or $$u_{n+1} -u_{n} =\left(n+1\right)^{3}$$ donc on peut conclure que $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$
Finalement, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =\sqrt{u_{n}}+u_{n} +4$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaître l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =\sqrt{u_{n}}+u_{n} +4$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =\sqrt{u_{n}} +4$$
Comme $$n$$ est un entier naturel , alors $$\sqrt{u_{n}}+4 \ge 0$$.
Or $$u_{n+1} -u_{n} =\sqrt{u_{n}} +4$$ donc on peut conclure que $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$
Finalement, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1}=2\left(u_{n}\right)^{2} +u_{n}$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaître l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1}=2\left(u_{n}\right)^{2} +u_{n}$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =2\left(u_{n}\right)^{2}$$
Or pour tout entier naturel $$n$$ , on a : $$2\left(u_{n}\right)^{2} \ge 0$$ car un carré est positif ou nul.
Or $$u_{n+1} -u_{n} =2\left(u_{n}\right)^{2}$$ donc on peut conclure que $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$
Finalement, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ croissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme :
$$u_{n+1} =u_{n} \left(1-7u_{n} \right)$$
$$u_{n+1} =u_{n} \times 1+u_{n} \times \left(-7u_{n} \right)$$
$$u_{n+1} =u_{n} -7\left(u_{n} \right)^{2}$$
On va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaître l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} -7\left(u_{n} \right)^{2}$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =-7\left(u_{n}\right)^{2}$$
Or pour tout entier naturel $$n$$ , on a : $$\left(u_{n}\right)^{2} \ge 0$$ car un carré est positif ou nul. D'où : $$-7\left(u_{n}\right)^{2} \le 0$$
Or $$u_{n+1} -u_{n} =-7\left(u_{n}\right)^{2}$$ donc on peut conclure que $$u_{n+1} -u_{n} \le 0$$
Finalement, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$

$$\blue{\text{ Ici il s'agit d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.}}$$
Comme $$u_{n+1} =u_{n} -\frac{5}{2n+3}$$, on va passer le $$u_{n}$$ qui est à droite du signe $$=$$ à gauche du signe $$=$$ afin de faire apparaitre l'expression $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} =u_{n} -\frac{5}{2n+3}$$ peut s'écrire :
$$u_{n+1} -u_{n} =-\frac{5}{2n+3}$$
Comme $$n$$ est un entier naturel , alors $$2n+3 >0$$ et $$-5<0$$ . De ce fait, $$-\frac{5}{2n+3} < 0$$.
Or $$u_{n+1} -u_{n} =-\frac{5}{2n+3}$$ donc on peut conclure que $$u_{n+1} -u_{n} <0$$
Finalement, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est $$\red{\text{ décroissante.}}$$