Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 5

Soit $$n$$ un entier naturel non nul, c'est à dire $$n\ge1$$. Il en résulte donc que $$4n\ge 4\Leftrightarrow 4n-1\ge 3$$ et donc $$4n-1>0$$. De plus, pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a : $$2^{n}>0$$
Il en résulte donc que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on peut conclure que : $$u_{n}>0$$.
Nous pouvons alors calculer $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1$$.
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n+1} +4\times \left(n+1\right)-1}{2^{n} +4n-1} -1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n+1} +4n+4-1}{2^{n} +4n-1} -1$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n+1} +4n+3}{2^{n} +4n-1} -1$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n+1} +4n+3}{2^{n} +4n-1} -\frac{2^{n} +4n-1}{2^{n} +4n-1}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n+1} +4n+3-\left(2^{n} +4n-1\right)}{2^{n} +4n-1}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n+1} +4n+3-2^{n} -4n+1}{2^{n} +4n-1}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n+1} -2^{n} +4}{2^{n} +4n-1}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n} \times 2-2^{n} +4}{2^{n} +4n-1}$$
$$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n} \times \left(2-1\right)+4}{2^{n} +4n-1}$$

D'après la question précédente, nous savons que : $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1=\frac{2^{n} +4}{2^{n} +4n-1}$$
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a vu, toujours d'après la question précédente que $$u_{n}>0$$ ce qui signifie donc que $$2^{n} +4n-1>0$$.
Donc le signe de $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1$$ est alors du signe de $$2^{n} +4$$.
Comme $$n\ge1$$ alors $$2^{n} +4>0$$.
Il en résulte donc que : $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } -1>0$$. Autrement dit : $$\frac{u_{n+1} }{u_{n} } >1$$
Finalement, pour tout entier naturel $$n$$ non nul, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est strictement croissante.