Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

On dresse l'arbre pondéré grâce aux informations données par l'énoncé.
Ainsi :

On calcule alors :
$$P\left(T\cap \overline{A}\right)=P\left(T\right)\times P_{T} \left(\overline{A}\right)$$
$$P\left(T\cap \overline{A}\right)=0,75\times 0,8$$

La probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé le test pour la première fois et l'ait réussi est de $$0,6$$.

Les évènements $$T$$ et $$\overline{T}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :
$$p\left(A\right)=P\left(T\cap A\right)+P\left(\overline{T}\cap A\right)$$ équivaut successivement à
$$p\left(A\right)=P\left(T\right)\times p_{T} \left(A\right)+P\left(\overline{T}\right)\times p_{\overline{T}} \left(A\right)$$
$$p\left(A\right)=0,75\times 0,2+0,25\times 0,95$$
$$p\left(A\right)=0,15+0,2375$$

La probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé plusieurs fois le test est de $$0,3875$$.

On pourrait traduire la question de la manière suivante ; $${\color{blue}{\text{sachant}}}$$ que l'élève a passé plusieurs fois le test, quelle est la probabilité qu'il réussisse.
L'énoncé de la question nous indique qu'il faut calculer $$P_{A} \left(T\right)$$.
D'après les formules du cours on sait que : $$P_{A} \left(T\right)=\frac{P\left(T\cap A\right)}{P\left(A\right)}$$.
Il vient alors que : $$P_{A} \left(T\right)=\frac{0,75\times 0,2}{0,3875}$$ d'où :