Comment étudier l'ensemble des points $$M$$ vérifiant la relation $$MA^{2} +MB^{2} =k$$ - Exercice 3

Soit $$I$$ le milieu du segment $$\left[AB\right]$$. On applique la formule de la médiane .
Comme $$MA^{2} +MB^{2} =k$$ et que $$MA^{2} +MB^{2} =2MI^{2} +\frac{AB^{2} }{2}$$ on a alors :
$$2MI^{2} +\frac{AB^{2} }{2} =k$$ équivaut successivement à :
$$2MI^{2} +\frac{4^{2} }{2} =k$$
$$2MI^{2} +\frac{16}{2} =k$$
$$2MI^{2} +8=k$$
$$2MI^{2} =k-8$$
$$MI^{2} =\frac{k-8}{2}$$
Pour que l'ensemble des points $$M$$ du plan vérifiant $$MA^{2} +MB^{2} =k$$ soit un cercle, il faut que $$\frac{k-8}{2}>0$$ autrement dit $$k-8>0$$ (car le dénominateur est strictement positif)
Ainsi :
Les valeurs de $$k$$ tels que l'ensemble des points $$M$$ du plan vérifiant $$MA^{2} +MB^{2} =k$$ soit un cercle sont les solutions de l'inéquation $$k-8>0\Leftrightarrow k>8$$ .
Il faut donc que $$k\in \left]8;+\infty \right[$$ .