Calculer la somme des termes d'une suite géométrique - Exercice 2

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Question 1
Soit une suite géométrique (un)\left(u_{n} \right) de raison q=5q=5 et de u0=3u_{0} =3.

Exprimer unu_{n} en fonction de nn et calculer le sixième terme de cette suite.

Correction
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique. L'expression de unu_{n} en fonction de nn est :
  • un=u0×qnu_{n} =u_{0}\times q^{n} : lorsque le premier terme vaut u0u_{0} .
  • un=u1×qn−1u_{n} =u_{1}\times q^{n-1} : lorsque le premier terme vaut u1u_{1} .
  • un=up×qn−pu_{n} =u_{p}\times q^{n-p}: formule avec un premier terme upu_{p} quelconque .
    • Dans notre cas, le premier terme ici vaut u0=3u_{0} =3.
    Il en résulte donc que :
    un=3×5nu_{n} =3\times5^{n}
    Question 2

    Etudier les variations de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

    Correction
    Pour étudier les variations de la suite (un)\left(u_{n} \right) .
    Soit une suite (un)\left(u_{n}\right) géométrique de raison qq et de premier terme u0u_{0} alors :
    • Si 0<q<10<q<1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si 0<q<10<q<1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    • Si q>1q>1 et u0<0u_{0}<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.
    • Si q=1q=1 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante égale à u0u_{0}.
    • Si q<0q<0 alors la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas monotone.
    Ainsi q=5q=5 et u0=3u_{0}=3 c'est à dire q>1q>1 et u0>0u_{0}>0 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante.
    Question 3

    Calculer la somme S=u0+u1+…+u9S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{9}

    Correction
    La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
    u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=5q=5 et de u0=3u_{0} =3.
    De plus, il y a en tout 1010 termes en partant de u0u_{0} à u9 u_{9}.
    On applique la formule :
    u0+u1+…+u9=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{9}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
    u0+u1+…+u9=u0×(1−q101−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{9}=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{10} }{1-q} \right)
    u0+u1+…+u9=3×(1−5101−5)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{9}=3 \times \left(\frac{1-5^{10} }{1-5} \right)
    u0+u1+…+u9=7u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{9}=7 324324 218218
    Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.

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