Petits problèmes.. - Exercice 2

Il vient alors que :
$$u_{6} =u_{3} \times q^{6-3}$$ équivaut successivement à :
$$u_{6} =u_{3} \times q^{3}$$
$$256 =32\times q^{3}$$
$$\frac{256}{32} =q^{3}$$
$$q^{3}=8$$ alors .
Maintenant, pour calculer la valeur de $$u_{0}$$, on exprime $$u_{n}$$ en fonction de $$n$$. Ainsi :
$$u_{n} =u_{p} \times q^{n-p}$$ équivaut successivement à :
$$u_{3} =u_{0} \times q^{3-0}$$
$$32 =u_{0} \times 2^{3}$$
$$u_{0}=\frac{32}{8}$$

Il en résulte donc que : $$u_{n} =4 \times 2^{n}$$

Comme $$u_{n} =4 \times 2^{n}$$ alors il nous faut résoudre l'équation :
$$4 \times 2^{n}=131\;072$$ équivaut successivement à :
$$2^{n}=\frac{131\;072}{4}$$
$$2^{n}=\frac{131\;072}{4}$$
$$2^{n}=32$$ $$768$$
A l'aide de la calculatrice et du tableur, on remarque que : $$2^{15}=32$$ $$768$$
Il en résulte donc que $$u_{15}=131$$ $$072$$.

$$S=4+8+16+\ldots +131\;072$$ équivaut successivement à :
$$S=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{15}$$. Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$2$$.
De plus, il y a en tout $$16$$ termes en partant de $$u_{0}$$ à $$u_{15}$$.
On applique la formule :
$$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)$$
$$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{16} }{1-q} \right)$$
$$u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{15}=4 \times \left(\frac{1-2^{16} }{1-2} \right)$$