Déterminer les primitives de fonctions de la forme : x↦cos⁡(ax+b)\red{x\mapsto\cos \left(ax+b\right)} - Exercice 3

10 min
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Question 1

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=cos⁡(4x+3π25)f\left(x\right)=\cos \left(4x+\frac{3\pi }{25} \right)

Correction
Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=cos⁡(4x+3π25)f\left(x\right)=\cos \left({\color{red}{4}}x+{\color{blue}{\frac{3\pi }{25}}} \right) avec a=4{\color{red}{a=4}} et b=3π25{\color{blue}{b=\frac{3\pi }{25}}}
    Or une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=1asin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=14sin⁡(4x+3π25)F\left(x\right)=\frac{1}{\color{red}{4}}\sin \left({\color{red}{4}}x+{\color{blue}{\frac{3\pi }{25}}}\right)
    Question 2

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(v)=cos⁡(12v+6π17)f\left(v\right)=\cos \left(12v+\frac{6\pi }{17} \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    • Soit v∈Rv \in \mathbb{R}
    Nous avons f(v)=cos⁡(12v+6π17)f\left(v\right)=\cos \left({\color{red}{12}}v+{\color{blue}{\frac{6\pi }{17}}} \right) avec a=12{\color{red}{a=12}} et b=6π17{\color{blue}{b=\frac{6\pi }{17}}}
    Or une primitive de cos⁡(av+b)\cos \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(av+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(v)=1asin⁡(av+b)F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}v+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(v)=112sin⁡(12v+6π17)F\left(v\right)=\frac{1}{\color{red}{12}}\sin \left({\color{red}{12}}v+{\color{blue}\frac{6\pi }{17}}\right)

    Question 3

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(u)=6,6cos⁡(11u+5π)f\left(u\right)=6,6\cos\left(11u+5\pi \right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit u∈Ru \in \mathbb{R}
    Nous avons f(u)=6,6cos⁡(11u+5π)f\left(u\right)={\color{purple}{6,6}}\cos \left({\color{red}{11}}u+{\color{blue}{5\pi}} \right) avec a=11{\color{red}{a=11}} ; b=5π{\color{blue}{b=5\pi}} et k=6,6{\color{purple}{k=6,6}}
    Or une primitive de k×cos⁡(au+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(au+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(u)=kasin⁡(au+b)F\left(u\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}u+{\color{blue}{b}}\right)

    Ainsi :
    F(u)=6,611sin⁡(11u+5π)F\left(u\right)=\frac{{\color{purple}{6,6}}}{\color{red}{11}}\sin \left({\color{red}{11}}u+{\color{blue}{5\pi }}\right)

    Après simplification, on obtient : F(u)=0,6sin⁡(11u+5π)F\left(u\right)=0,6\sin \left(11u+5\pi \right)
    Question 4

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(t)=21cos⁡(3π8t)f\left(t\right)=21\cos \left(\frac{3\pi}{8}t\right)

    Correction
    Soient a\color{red}{a} un réel non nul et k\color{purple}{k} un réel non nul.
  • Une primitive de primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit t∈Rt \in \mathbb{R}
    Nous avons f(t)=21cos⁡(3π8t)f\left(t\right)={\color{purple}{21}}\cos \left({\color{red}{\frac{3\pi}{8}}}t \right) avec a=3π8{\color{red}{a=\frac{3\pi}{8}}} ; b=0{\color{blue}{b=0}} et k=21{\color{purple}{k=21}}
    Or une primitive de k×cos⁡(at+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(at+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(t)=kasin⁡(at+b)F\left(t\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}t+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(t)=213π8sin⁡(3π8t)F\left(t\right)={\color{red}\frac{{\color{purple}{21}}}{\frac{3\pi}{8}}}\sin \left({\color{red}{\frac{3\pi}{8}}}t\right)

    Après simplification, on obtient : F(t)=21×83πsin⁡(3π8)=56πsin⁡(3π8)F\left(t\right)=21\times\frac{8}{3\pi}\sin \left(\frac{3\pi}{8} \right) =56\pi\sin \left(\frac{3\pi}{8} \right)
    Question 5

    Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff continue sur R\mathbb{R} et définie par f(x)=52cos⁡(−13x+26)f\left(x\right)=52\cos \left(-13x+26 \right)

    Correction
    Soit a\color{red}{a} un réel non nul .
  • Une primitive de cos⁡(ax+b)\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme 1asin⁡(ax+b)\frac{1}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)

    • Soit x∈Rx \in \mathbb{R}
    Nous avons f(x)=52cos⁡(−13x+26)f\left(x\right)=52\cos \left({\color{red}{-13}}x+{\color{blue}{26}} \right) avec a=−13{\color{red}{a=-13}} et b=26{\color{blue}{b=26}} et k=52{\color{purple}{k=52}}
    Or une primitive de k×cos⁡(ax+b){\color{purple}{k}}\times\cos \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right) est de la forme kasin⁡(ax+b)\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Il en résulte donc qu'une primitive de ff sur R\mathbb{R} est :
    F(x)=kasin⁡(ax+b)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{k}}}{\color{red}{a}}\sin \left({\color{red}{a}}x+{\color{blue}{b}}\right)
    Ainsi :
    F(x)=52−13sin⁡(−13x+26)F\left(x\right)=\frac{{\color{purple}{52}}}{\color{red}{-13}}\sin \left({\color{red}{-13}}x+{\color{blue}{26}}\right)

    Aprè simplification, on obtient : F(x)=−4sin⁡(13x+26)F\left(x\right)=-4\sin \left(13x+26 \right)

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