Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

5 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=5x−2sin⁡(x)f\left(x\right)=5x-2\sin \left(x\right).
Question 1

Montrer que ff est une fonction impaire .

Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(−x)=5×(−x)−2sin⁡(−x)f\left(-x\right)=5\times \left(-x\right)-2\sin \left(-x\right) équivaut successivement à :
    f(−x)=−5x−2×(−sin⁡(x))f\left(-x\right)=-5x-2\times \left(-\sin \left(x\right)\right)
    f(−x)=−5x+2sin⁡(x)f\left(-x\right)=-5x+2\sin \left(x\right)
    f(−x)=−(5x−2sin⁡(x))f\left(-x\right)=-\left(5x-2\sin \left(x\right)\right)
    f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
    La fonction ff est une fonction impaire.
  • La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
    • Question 2
    Soit gg une fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=−4x2+3cos⁡(x)g\left(x\right)=-4x^{2}+3\cos \left(x\right).

    Montrer que gg est une fonction paire .

    Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons g(−x)g\left(-x\right) . Ainsi :
    g(−x)=−4(−x)2+3cos⁡(−x)g\left(-x\right)=-4\left(-x\right)^{2} +3\cos \left(-x\right)
    g(−x)=−4x2+3cos⁡(x)g\left(-x\right)=-4x^{2} +3\cos \left(x\right)
    g(−x)=g(x)g\left(-x\right)=g\left(x\right)
    La fonction gg est une fonction paire.
  • La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

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