Sujet 2 - Exercice 2

Il est important de connaître les premiers nombres premiers : $$\color{red}(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;11\;;13\;;17\;;\;19\;;\;23).$$
1°) Décomposition de 69 en facteurs premiers :
On cherche les diviseurs de $$69$$ dans l'ordre croissant :
$$69$$ est divisible par $$3$$ ainsi : $$69={\color{red}3}\times {\color{blue}23}$$
$$23$$ est un nombre premier donc la décomposition de $$69$$ en produits de facteurs premiers est alors :
$$69={\color{red}3}\times {\color{blue}23}$$
2°) Décomposition de 1 150 en facteurs premiers :
$$1\;150$$ est divisible par $$2$$ ainsi : $$1150={\color{green}2}\times 575$$
$$575$$ est divisible par $$5$$ ainsi : $$1150={\color{green}2}\times {\color{purple}5}\times155$$
$$155$$ est divisible par $$5$$ ainsi : $$1150={\color{green}2}\times {\color{purple}5}\times {\color{purple}5}\times{\color{blue}23}$$
$$23$$ est un nombre premier donc la décomposition de $$1\;150$$ en produits de facteurs premiers est alors :
$$1150={\color{green}2}\times {\color{purple}5^2}\times{\color{blue}23}$$
3°) Décomposition de 4 140 en facteurs premiers :
$$4\;140$$ est divisible par $$2$$ ainsi : $$4\;140={\color{green}2}\times 2\;070$$
$$2\;070$$ est divisible par $$2$$ ainsi : $$4\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times1\;035$$
$$1\;035$$ est divisible par $$3$$ ainsi : $$4\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times {\color{red}3}\times345$$
$$345$$ est divisible par $$3$$ ainsi : $$4\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times {\color{red}3}\times {\color{red}3}\times115$$
$$115$$ est divisible par $$5$$ ainsi : $$4\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times {\color{red}3}\times {\color{red}3}\times {\color{brown}5}\times{\color{blue}23}$$
$$23$$ est un nombre premier donc la décomposition de $$4\;140$$ en produits de facteurs premiers est alors :
$$4\;140={\color{green}2}\times {\color{green}2}\times {\color{red}3}\times {\color{red}3}\times {\color{brown}5}\times{\color{blue}23}$$
$$4\;140={\color{green}2^2}\times {\color{red}3^2}\times {\color{brown}5}\times{\color{blue}23}$$

Ici, on doit déterminer le $$PGCD$$ c'est-a-dire le plus grand diviseur commun à $$69\;;\;$$ $$1\;150$$ et $$4\;140.$$
$$69={\color{red}3}\times {\color{blue}23}$$
$$1150={\color{green}2}\times {\color{purple}5^2}\times{\color{blue}23}$$
$$4\;140={\color{green}2^2}\times {\color{red}3^2}\times {\color{brown}5}\times{\color{blue}23}$$
Ici, on constate que le facteur 23 est commun aux trois décompositions.
On peut donc conclure qu'il y a 23 marins.