Sujet 3 - Exercice 2

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Question 1
Gaspard réalise des motifs avec des carreaux de mosaïque blancs et gris de la façon suivante :

Gaspard forme un carré avec des carreaux gris puis le borde avec des carreaux blancs.

Combien de carreaux blancs Gaspard va-t-il utiliser pour border le carré gris du motif 4 ((un carré ayant 44 carreaux gris de côté )) ??

Correction
Ici, on borde le carré gris du motif 44 qui est composée d'un carré de 44 carreaux de côté avec des carreaux blancs.
En bordure, on aura donc besoin de 66 carreaux blancs.
Soit 6×4=246\times4=24 carreaux blancs, moins les 44 coins.
Donc un total de 2020 carreaux blancs.
Question 2

Justifier que Gaspard peut réaliser un motif de ce type en utilisant exactement 144144 carreaux gris.

Correction
On sait que Gaspard forme un carré avec des carreaux gris puis le borde avec des carreaux blancs.
Afin de savoir s'il peut utiliser 144144 carreaux gris, on doit savoir si 144144 est le résultat de l'aire dun carré. Or :
144=12×12.144=12\times12.
On peut donc conclure que Gaspard peut réaliser un motif de ce type en utilisant exactement 144144 carreaux gris.
On aura ainsi un carré grisé de 12\color{blue}12 carreaux de côtés.
Question 3

Combien de carreaux blancs utilisera-t-il alors pour border le carré gris obtenu ??

Correction
De la question précédente, on sait que le carré grisé de 144144 carreaux, sera un carré de 1212 carreaux de côtés.
En bordure, on aura donc besoin de 1414 carreaux blancs.
Soit 14×4=5614\times4=56 carreaux blancs, moins les 44 coins.
Donc un total de 5252 carreaux blancs.
Question 4
On appelle «« motif nn »» le motif pour lequel on borde un carré de n carreaux gris de côté.
Trois élèves ont proposé chacun une expression pour calculer le nombre de carreaux blancs nécessaires pour réaliser le «« motif nn »» :
  • Expression 1 : 2×n+2×(n+2)2×n +2×(n +2)
  • Expression 2 : 4×(n+2)4×(n +2)
  • Expression 3 : 4×(n+2)−44×(n +2)−4

    • Une seule de ces trois expressions ne convient pas. Laquelle ??

    Correction
    Ici, on peut procéder par déduction, il suffit de développer et réduire chacune des expressions, et voir lesquelles sont égales.
  • Expression 1 =2×n+2×(n+2)=2×n +{\color{blue}2×(n +2)}
    Expression 1 =2n+2n+4=2n{\color{blue}+2n+4}

    Expression 1 =4n+4={4n+4}

  • Expression 2 =4×(n+2)=4×(n +2)

    Expression 2 =4n+8={4n+8}

  • Expression 3 =4×(n+2)−4={\color{blue}4×(n +2)}−4
    Expression 3 =4n+8−4={\color{blue}4n+8}−4

    Expression 3 =4n+4={4n+4}

    ici, L'expression 1 == L'expression 3, on peut donc en déduire que l'expression 22 ne convient pas.

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