Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

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Sur la figure dessinée ci-dessous, ABCDABCD est un carré et ABEFABEF est un rectangle.
On a AB=BC=2x+1AB=BC=2x+1 et AF=x+3AF=x+3 où xx désigne un nombre supérieur à 2.2.
L'unité de longueur est le centimètre.
Question 1
Partie A : Étude d'un cas particulier x=3x=3

Pour x=3x=3, calculer ABAB et AFAF.

Correction
1°) Calcul de AB :
AB=2x+1AB=2x+1
Ici, on doit remplacer la valeur de xx par 33, on a donc :
AB=2×3+1AB=2\times3+1
AB=6+1AB=6+1
AB=7  cm\boxed{AB=7\;cm}
1°) Calcul de AF :
AF=x+3AF=x+3
Ici, on doit remplacer la valeur de xx par 33, on a donc :
AF=3+3AF=3+3
AF=6  cm\boxed{AF=6\;cm}
Question 2

Pour x=3,x=3, calculer l'aire du rectangle FECD.FECD.

Correction
Aire  du  rectangleFECD=longueur×largeurAire\;du\;rectangle_{FECD}=longueur\times{largeur}
Aire  du  rectangleFECD=FE×ECAire\;du\;rectangle_{FECD}=FE\times{EC}
À l'aide de notre figure, on constate que :
FE=AB=7  cmFE=AB=7\;cm et que EC=BC−AF.EC=BC-AF.
Avec BC=AB=7  cmBC=AB=7\;cm et AF=6  cm.AF=6\;cm.
Donc EC=7−6=1  cmEC=7-6=1\;cm
Aire  du  rectangleFECD=FE×EC=7×1=7  cm2Aire\;du\;rectangle_{FECD}=FE\times{EC}=\boxed{7\times1=7\;cm^2}
Question 3
Partie B : Étude du cas général : xx désigne un nombre supérieur à 2.2.

Exprimer la longueur FDFD en fonction de x.x.

Correction
À l'aide de notre figure, on constate que :
FD=AD−AF.FD=AD-AF.
Avec AD=BC=2x+1AD=BC=2x+1 et AF=x+3.AF=x+3.
Donc FD=2x+1−(x+3)FD=2x+1-(x+3)
Ici la parenthèse est bien précédée du signe (−)\color{red}(-), donc :
On supprime le signe (−)\color{red}(-) et la parenthèse, à condition de changer les signes des termes à l'intérieur de la parenthèse. On a donc :
FD=2x+1−x−3FD=2x+1-x-3
FD=x−2\boxed{FD=x-2}
Question 4

En déduire que l'aire de FECDFECD est égale à (2x+1)(x−2).(2x+1)(x-2).

Correction
Aire  du  rectangle  FECD=Longueur×largeurAire\;du\;rectangle\;FECD=Longueur\times{largeur}
Aire  du  rectangleFECD=FE×ECAire\;du\;rectangle_{FECD}=FE\times{EC}
À l'aide de notre figure, on constate que :
FE=AB=DC=2x+1FE=AB=DC=2x+1 et FD=x−2FD=x-2.
Aire  du  rectangleFECD=(2x+1)(x−2)\boxed{Aire\;du\;rectangle_{FECD}=(2x+1)(x-2)}
Question 5

Exprimer en fonction de xx, les aires du carré ABCDABCD et du rectangle ABEF.ABEF.

Correction
1°) Calcul de l'aire du carré ABCD :
Aire  du  carreˊ  ABCD=co^teˊ×co^teˊAire\;du\;carré\;ABCD=côté\times{côté}
Aire  du  carreˊ  ABCD=(2x+1)(2x+1)=(2x+1)2\boxed{Aire\;du\;carré\;ABCD=(2x+1)(2x+1)=(2x+1)^2}
1°) Calcul de l'aire du rectangle ABEF :
Aire  du  rectangle  ABEF=longueur×largeurAire\;du\;rectangle\;ABEF=longueur\times{largeur}
Aire  du  rectangle  ABEF=AB×AFAire\;du\;rectangle\;ABEF=AB\times{AF}
Aire  du  rectangle  ABEF=(2x+1)(x+3)\boxed{Aire\;du\;rectangle\;ABEF=(2x+1)(x+3)}

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