Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

D'après la figure ci-dessus, on a :
$$\bullet$$ Le triangle $$ABI$$ qui est inscrit dans le cercle $$\mathscr{C}$$.
$$\bullet$$ Le segment $$[AB]$$ qui est un diamètre du cercle $$\mathscr{C}$$.
À l'aide de ces informations, on peut utiliser la propriété suivante :

On en déduit donc que le triangle $$ABI$$ est rectangle en $$I$$.

Comme le triangle $$ABI$$ est rectangle en $$I$$ avec $$AB = 6$$ cm et $$BI = 3$$ cm. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
$$AB^{2} =AI^{2} +BI^{2}$$
On a alors :
$$AI^{2} =AB^{2} -BI^{2}$$
$$AI^{2} =6^{2} -3^{2}$$
$$AI^{2} =36-9$$
$$AI^{2} =27$$. Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de $$AI$$.
D'où : $$AI=\sqrt{27}$$
Ainsi :
La mesure de $$AI$$ est donc de $$5,2$$ cm. (arrondi au dixième près).

Le triangle $$ABI$$ est rectangle en $$I$$. Nous connaissons :

Le côté adjacent à l'angle $$\widehat{I}$$ dont la mesure est $$IB=3$$ cm.

L'hypoténuse $$AB=6$$ cm.

Nous recherchons l'angle $$\widehat{B}$$.

Nous allons donc utiliser le $${\color{blue}\text{cosinus}}$$.
$$\cos\left(\widehat{ABI}\right)=\frac{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{I}}{\text{hypoténuse}}$$
$$\cos\left(\widehat{ABI}\right)=\frac{IB}{AB}$$
$$\cos\left(\widehat{ABI}\right)=\frac{3}{6}$$
$$\widehat{ABI}=\cos^{-1}\left(\frac{3}{6}\right)$$ ou encore $$\widehat{ABI}=\text{arcos}\left(\frac{3}{6}\right)$$
Ainsi :
La mesure de l'angle $$\widehat{ABI}$$ est de $$60{}^\circ$$.