Savoir résoudre des problèmes se ramenant à des équations du premier degré - Exercice 2

Le périmètre d'un quadrilatère est : $$côté+côté+côté+\;côté$$ donc :
$$périmètre_{DEFG}=DE+EF+FG+GD$$.
$$périmètre_{DEFG}=(2x+2)+(5x-1)+(3x-2)+(x+4)$$.
$$périmètre_{DEFG}=2x+2+5x-1+3x-2+x+4$$. Ici on peut supprimer les parenthèses car elles sont précédées d'un signe $$\color{red}+$$.
$$périmètre_{DEFG}=2x+5x+3x+x+2-1-2+4$$.
$$\color{blue}périmètre_{DEFG}=11x+3$$.
Or dans l'énoncé on sait que le périmètre du quadrilatère $$DEFG$$ est de $$47\;cm$$.
On doit donc ici résoudre l'équation suivante $$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$$$11x+3=47$$
$$11x+3{\color{blue}-3}=47{\color{blue}-3}$$ $$\;$$On soustrait $${\color{blue}3}$$ à chaque membre .
$$11x=44$$
$$\frac{11x}{\color{blue}11}=\frac{44}{\color{blue}11}$$. On divise chaque membre par le nombre devant le $$x$$ qui ici vaut $${\color{blue}11}$$.
Ainsi :
On peut donc conclure que pour $$\color{blue}x=4$$, le périmètre du quadrilatère DEFG est de $$\color{blue}47\;cm$$.

1°) Déterminons dans un premier temps le périmètre du rectangle ABCD :
Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur. Donc $$AB=DC=6x-5$$ $$\;\;\;$$ et$$\;\;\;$$ $$AD=BC=x+1$$.
Donc le périmètre du rectangle est : $$(longueur+largeur)\times{2}$$
$$périmètre_{ABCD}=(6x-5+x+1)\times2$$.
$$périmètre_{ABCD}=(7x-4)\times{2}$$.
$$périmètre_{ABCD}=2\times{7x}+2\times{(-4)}$$.
$$\color{blue}périmètre_{ABCD}=14x-8$$.
Déterminons dans un second temps le périmètre du carré IJKL :
Le carré à $$4$$ côtés de même longueur. Donc son périmètre est : $$4\times\;côté$$
Ici on sait que $$IJ=4x-3$$. Par conséquent :
$$périmètre_{IJKL}=4\times(4x-3)$$.
$$périmètre_{IJKL}=4\times{4x}+4\times{(-3)}$$.
$$\color{blue}périmètre_{IJKL}=16x-12$$.
On souhaite déterminer la valeur de $$x$$ pour que le périmètre du rectangle $$ABCD$$ soit égale au périmètre du carré $$IJKL$$
On doit donc ici résoudre l'équation suivante $$\color{red}\Longrightarrow$$ $$\;\;\;$$$$14x-8=16x-12$$

$$14x-8{\color{blue}-16x}=16x-12{\color{blue}-16x}$$ $$\;$$On soustrait $${\color{blue}16x}$$ à chaque membre .
$$-2x-8=-12$$
$$-2x-8{\color{blue}+8}=-12{\color{blue}+8}$$$$\;\;\;\;$$On additionne $${\color{blue}8}$$ à chaque membre .
$$-2x=-4$$
$$\frac{-2x}{\color{blue}-2}=\frac{-4}{\color{blue}-2}$$. On divise chaque membre par le nombre devant le $$x$$ qui ici vaut $${\color{blue}-2}$$.
Ainsi :
On peut donc conclure que pour $$\color{blue}x=2$$, le périmètre du rectangle ABCD est égale au périmètre du carré IJKL.