Applications linéaires - Exercice 3

Les ensembles $$\mathbb{R}^2$$ et $$\mathbb{R}^3$$ sont bien des $$\mathbb{R}$$-espaces vectoriels.
Puis, désignons par $$\lambda$$ un réel quelconque.
On considère deux éléments $$u$$ et $$v$$ de $$\mathbb{R}^2$$ que nous noterons $$u = (x \,;\, y)$$ et $$v = (a \,;\, b)$$.
On a :
$$f(u + \lambda v) = f((x \,;\, y) + \lambda (a \,;\, b)) = f(x + \lambda a \,;\, y + \lambda b)$$
Ce qui nous donne :
$$f(u + \lambda v) = (x + \lambda a + y + \lambda b \,;\, x + \lambda a - (y + \lambda b) \,;\, 3(y + \lambda b))$$
Soit :
$$f(u + \lambda v) = (x + y + \lambda (a + b) \,;\, x - y + \lambda (a-b) \,;\, 3y + \lambda 3b)$$
Soit encore :
$$f(u + \lambda v) = (x + y \,;\, x - y \,\, 3y ) + (\lambda (a + b) \,;\, \lambda (a-b) \,;\, \lambda 3b)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$f(u + \lambda v) = (x + y \,;\, x - y \,\, 3y ) + \lambda ( a + b \,;\, a-b \,;\, 3b)$$
Ceci s'écrit encore comme :
$$f(u + \lambda v) = f(x \,;\, y) + \lambda f(a \,;\, b)$$
Ainsi :
$$f(u + \lambda v) = f(u) + \lambda f(v)$$
De fait l'application $$f$$ est bien linéaire.

On a :
$$\phi : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{D}(I) & \longrightarrow & \mathbb{R}^I \\ f & \longmapsto & \phi(f) = f'\end{array} \right.$$
L'application $$\phi$$ est-elle linéaire ?
Les ensembles $$\mathcal{D}(I)$$ et $$\mathbb{R}^I$$ sont deux espaces vectoriels sur $$\mathbb{R}$$.
Soit $$\lambda$$ un nombre réel. On désigne par $$f$$ et $$g$$ deux éléments de $$\mathcal{D}(I)$$. On a alors :
$$\phi(f + \lambda g) = (f + \lambda g)' = (f)' + (\lambda g)' = f' + \lambda g' = \phi(f) + \lambda \phi(g)$$
Donc l'application $$\phi$$ est bien linéaire.

L'ensemble $$\mathbb{R}$$ est un $$\mathbb{R}$$-espace vectoriel.
Soit $$\lambda$$ un nombre réel. On désigne par $$x$$ et $$y$$ deux éléments de $$\mathbb{R}$$. On a alors :
$$f(x + \lambda y) = (x + \lambda y)^2 = x^2 + \lambda ^2 y^2 + 2\lambda xy \neq x^2 + \lambda y^2$$
Donc :
$$f(x + \lambda y) \neq f(x) + \lambda f(y)$$
Ainsi l'application $$f$$ n'est pas linéaire.