Sujet $$2$$ - Exercice 2

Posons comme hypothèse de récurrence : \og $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, \mathcal{H}_n$$ : la famille $$\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N})$$ est une famille libre de $$\mathbb{R}_n[X]$$ \fg. On a alors :
$$\bullet \,\, \bf{Étape \,\, 1 : Initialisation}$$
On a $$\deg (P_n) = n \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \deg (P_0) = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, P_0(X) = a_0$$ avec $$a_0 \in \mathbb{R}^\star$$. Ainsi, on peut écrire, avec $$\lambda_0 \in \mathbb{R}$$, que :
$$\lambda_0 P_0 = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lambda_0 a = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lambda_0 = 0$$
Donc $$P_0$$ est libre. Et $$\mathcal{H}_0$$ est vérifiée.
$$\bullet \,\, \bf{Étape \,\, 2 : Transmission}$$
On suppose que $$\exists p \in \mathbb{N}$$, tel que $$\mathcal{H}_p$$ soit vérifiée et démontrons que, sous cette hypothèse, $$\mathcal{H}_{p+1}$$ soit également vérifiée.
On a, avec $$i \in [\![ 0\,;\,p+2 ]\!]$$ les quantités $$\lambda_i \in \mathbb{R}^{p+2}$$, la relation suivante :
$$\sum_{i=0}^{p+1} \lambda_i P_i = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lambda_{p+1} P_{p+1} + \sum_{i=0}^{p} \lambda_i P_i = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lambda_{p+1} P_{p+1} = - \sum_{i=0}^{p} \lambda_i P_i$$
Or, on sait que $$P_{p+1}$$ est de la forme :
$$P_{p+1}(X) = a_0 + a_1 X + ... + a_{p} x^{p} + a_{p+1} x^{p+1} \,\,\, \mathrm{avec :} \, a_{p+1} \neq 0$$
Donc en le dérivant $$p+1$$ fois, on trouve que :
$$P^{(p+1)}_{p+1}(X) = a_{p+1} (p+1) !$$
Ainsi, en dérivant $$p+1$$ fois la relation $$\lambda_{p+1} P_{p+1} = - \displaystyle{\sum_{i=0}^{p}} \lambda_i P_i$$ on obtient donc :
$$\lambda_{p+1} P^{(p+1)}_{p+1} = - \sum_{i=0}^{p} \lambda_i P^{(p+1)}_i \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \lambda_{p+1} a_{p+1} (p+1) ! = - \sum_{i=0}^{p} \lambda_i \underbrace{P^{(p+1)}_i}_{=0}$$
Soit encore :
$$\lambda_{p+1} a_{p+1} (p+1) ! = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \lambda_{p+1} = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \lambda_{p+1} P_{p+1} = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \sum_{i=0}^{p} \lambda_i P_i$$
Mais comme $$\mathcal{H}_p$$ est, par hypothèse, supposée vérifiée, alors cela implique que :
$$\forall i \in [\![ 0\,;\;p ]\!],\,\, \lambda_i = 0$$
Ainsi, comme $$\lambda_{p+1} = 0$$ on en déduit que :
$$\forall i \in [\![ 0\,;\;p+1 ]\!],\,\, \lambda_i = 0$$
Et donc que $$\mathcal{H}_{p+1}$$ est également vrai.
$$\bullet \,\, \bf{Étape \,\, 3 : Conclusion}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, on a bien démontré que $$\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N})$$ est une famille libre de $$\mathbb{R}_n[X]$$.

Posons comme hypothèse de récurrence : \og $$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, \mathcal{H}_n$$ : la famille $$\{e_0 \,;\,e_1\,;\,...\,\;\,e_n \} \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N}))$$ \fg. On a alors :
$$\bullet \,\, \bf{Étape \,\, 1 : Initialisation}$$
On a $$\deg (P_n) = n \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \deg (P_0) = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, P_0(X) = a_0$$ avec $$a_0 \in \mathbb{R}^\star$$.
De plus, $$\deg (e_n) = n \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \deg (e_0) = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, e_0(X) = 1$$
Ainsi, on peut écrire que :
$$P_0(X) = a_0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 1 = \dfrac{1}{a_0} P_0(X) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e_0(X) = \dfrac{1}{a_0} P_0(X)$$
De ce fait, on a donc : $$\{e_0\} \in \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_0)$$, et à fortiori :
$$\{e_0\} \in \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N}))$$
Ainsi $$\mathcal{H}_0$$ est vérifiée.
$$\bullet \,\, \bf{Étape \,\, 2 : Transmission}$$
On suppose que $$\exists p \in \mathbb{N}$$, tel que $$\mathcal{H}_p$$ soit vérifiée et démontrons que, sous cette hypothèse, $$\mathcal{H}_{p+1}$$ soit également vérifiée.
On a alors $$\{e_0 \,;\,e_1\,;\,...\,\;\,e_p \} \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N}))$$ et démontrons que cela implique automatiquement que $$e_{p+1} \in \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N}))$$.
On a $$\deg (P_n) = n \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \deg (P_{p+1}) = p+1$$. Et :
$$P_{p+1}(X) = a_0 + a_1 X + ... + a_{p} x^{p} + a_{p+1} x^{p+1} \,\,\, \mathrm{avec :} \, a_{p+1} \neq 0$$
Donc :
$$\dfrac{1}{a_{p+1}} \left( P_{p+1}(X) - ( a_0 + a_1 X + ... + a_{p} x^{p}) \right) = x^{p+1}$$
Soit encore :
$$e_{p+1}(X) = \dfrac{1}{a_{p+1}} \left( P_{p+1}(X) - ( a_0 + a_1 X + ... + a_{p} x^{p}) \right)$$
Mais également :
$$e_{p+1}(X) = \dfrac{1}{a_{p+1}} \left( P_{p+1}(X) - ( a_0 e_0 + a_1 e_1(X) + ... + a_{p} e_p(X)) \right)$$
On peut alors écrire que :
$$e_{p+1}(X) = \dfrac{1}{a_{p+1}} P_{p+1}(X) - \sum_{k=0}^{n} \dfrac{a_k}{a_{p+1}}e_k(X)$$
Or, il est évident que
$$\dfrac{1}{a_{p+1}} P_{p+1}(X) \in \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N}))$$. Puis, par hypothèse, on a nécessairement $$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}} \dfrac{a_k}{a_{p+1}}e_k(X) \in \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N}))$$. Ce qui implique donc que :
$$e_{p+1} \in \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N}))$$
Et donc que $$\mathcal{H}_{p+1}$$ est également vrai.
$$\bullet \,\, \bf{Étape \,\, 3 : Conclusion}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, on a bien démontré que :

Par hypothèse, $$\mathcal{E}(e_n\,;\, n\in \mathbb{N})$$ la famille, \textbf{génératrice} dans $$\mathbb{R}_n[X]$$.
Or, on cette famille vérifie $$\mathcal{E}(e_n\,;\, n\in \mathbb{N}) \in \mathbb{N}) \subset \mathrm{Vect}(\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N}))$$.
En conclusion, on en déduit que $$\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N})$$ est une famille génératrice de $$\mathbb{R}_n[X]$$.

La famille $$\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N})$$ est :
$$\bullet \,\,$$ libre d'après la question 1. ;
$$\bullet \bullet \,\,$$ génératrice d'après la question 3.
En conclusion, on peut affirmer que la famille $$\mathcal{F}(P_n\,;\, n\in \mathbb{N})$$ est une base de $$\mathbb{R}_n[X]$$.

D'après la $$\textbf{Partie A}$$, la famille $$\{P_0\,,\,P_1\,,\,P_2\,,\,P_3\}$$ forme une base $$\mathfrak{B}$$ de $$\mathbb{R}_3[X]$$ car, $$\forall k \in [\![0\,;\,3]\!], \,\, \deg(P_k) = k$$

Soient quatre nombres réels $$\{\alpha_0\,,\,\alpha_1\,,\,\alpha_2\,,\,\alpha_3\}$$ tel que :
$$Q = \alpha_0 P_0 + \alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \alpha_3 P_3$$
Soit :
$$X^3+2X^2 = \alpha_0 P_0(X) + \alpha_1 P_1(X) + \alpha_2 P_2(X) + \alpha_3 P_3(X)$$
Soit encore :
$$X^3+2X^2 = \alpha_0 + \alpha_1 (1+X) + \alpha_2 (1+X)^2 + \alpha_3 (1+X)^3$$
D'où :
$$X^3+2X^2 = \alpha_0 + \alpha_1 (1+X) + \alpha_2 (1+2X+X^2) + \alpha_3 (1+3X+3X^2+X^3)$$
Donc en développant :
$$X^3+2X^2 +0X + 0 = \alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + (\alpha_1 + 2\alpha_2 + 3 \alpha_3)X + (\alpha_2 + 3 \alpha_3)X^2 + \alpha_3 X^3$$
Ce qui nous permet d'obtenir le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rrrrrrrrr} \alpha_0 & + & \alpha_1 & + & \alpha_2 & + & \alpha_3 & = & 0 \\ & & \alpha_1 & + & 2 \alpha_2 & + & 3 \alpha_3 & = & 0 \\ & & & & \alpha_2 & + & 3 \alpha_3 & = & 2 \\ & & & & & & 3 \alpha_3 & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
On, trouve alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \alpha_0 & = & 1 \\ \alpha_1 & = & -1 \\ \alpha_2 & = & -1 \\ \alpha_3 & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, la décomposition de $$Q$$ dans $$\mathfrak{B}$$ est :

D'après la question précédente, on a :
$$f(x) = \left[ 1 - (1+x) - (1+x)^2 + (1+x)^3 \right] \, (1+x)^{\frac{3}{2}}$$
En développant :
$$f(x) = (1+x)^{\frac{3}{2}} - (1+x)^{\frac{5}{2}} - (1+x)^{\frac{7}{2}} + (1+x)^{\frac{9}{2}}$$
On en déduit alors une primitive $$F$$ de $$f$$ qui est :