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Maths Sup / L1
Intégrales généralisées
Cours
Cours Intégrales généralisées
Exercices
Exercice 1
(
1 exercice
)
Exercice 1
55 min
70
🌶
Exercice 2 : Etudier l'éventuelle convergence de l'intégrale
∫
2
∞
t
2
+
3
t
ln
(
cos
(
1
t
)
)
sin
2
(
1
ln
(
t
)
)
d
t
\displaystyle{\int_2^{\infty}} \sqrt{t^2 + 3t} \ln \left( \cos\left( \dfrac{1}{t} \right) \right) \sin^2\left( \dfrac{1}{\ln(t)} \right) \, dt
∫
2
∞
t
2
+
3
t
ln
(
cos
(
t
1
)
)
sin
2
(
ln
(
t
)
1
)
d
t
(
1 exercice
)
Exercice 1
30 min
45
🌶
🌶
Exercice 3 : Déterminer si l'intégrale généralisée
∫
0
π
2
tan
(
x
)
d
x
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx
∫
0
2
π
tan
(
x
)
d
x
est convergente
(
1 exercice
)
Exercice 1
15 min
20
🌶
Exercice 4 : Déterminer la nature de l'intégrale généralisée
∫
1
+
∞
ln
(
x
)
x
2
d
x
\int_1^{+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} \, dx
∫
1
+
∞
x
2
ln
(
x
)
d
x
(
1 exercice
)
Exercice 1
20 min
35
🌶
🌶
Exercice 5 : Déterminer pour quelle valeur de
α
\alpha
α
l'intégrale
∫
0
+
∞
(
1
1
+
2
x
2
−
α
1
+
x
)
d
x
\int_0^{+\infty} \left( \dfrac{1}{\sqrt{1+2x^2}} - \dfrac{\alpha}{1+x} \right)\, dx
∫
0
+
∞
(
1
+
2
x
2
1
−
1
+
x
α
)
d
x
est convergente.
(
1 exercice
)
Exercice 1
45 min
70
🌶
🌶
🌶
Exercice 6 : Etudier la convergence de l'intégrale
I
=
∫
1
∞
x
3
x
4
+
5
x
2
+
1
d
x
\mathcal{I} =\int_{1}^{\infty} \dfrac{x}{3x^4 + 5x^2 + 1} \, dx
I
=
∫
1
∞
3
x
4
+
5
x
2
+
1
x
d
x
.
(
1 exercice
)
Exercice 1
15 min
25
🌶
🌶
Exercice 7 : Etudier la nature de l'intégrale
J
\mathcal{J}
J
suivante :
J
=
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
\mathcal{J} = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx
J
=
∫
0
∞
e
−
x
2
d
x
(
1 exercice
)
Exercice 1
10 min
15
🌶
Exercice 8 : Étudier la convergence de l'intégrale
K
\mathcal{K}
K
suivante :
K
=
∫
0
∞
1
−
cos
x
x
2
d
x
\mathcal{K} = \int_{0}^{\infty} \dfrac{1- \cos x}{x^2} dx
K
=
∫
0
∞
x
2
1
−
cos
x
d
x
(
1 exercice
)
Exercice 1
20 min
35
🌶
🌶
Exercice 9 : Démontrer que l'intégrale
L
=
∫
1
∞
cos
x
x
2
d
x
\mathcal{L} = \int_{1}^{\infty} \dfrac{\cos x}{x^2} dx
L
=
∫
1
∞
x
2
cos
x
d
x
est absolument convergente
(
1 exercice
)
Exercice 1
10 min
15
🌶
Exercice 10 : Démontrer que l'intégrale, dite de
Dirichlet
\textit{Dirichlet}
Dirichlet
,
D
=
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
\mathcal{D} = \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx
D
=
∫
0
∞
x
sin
x
d
x
est convergente
(
1 exercice
)
Exercice 1
1 h
90
🌶
🌶
🌶
Exercice 11 : Déterminer la valeur (principale de
Cauchy
\textit{Cauchy}
Cauchy
) de l'intégrale
C
\mathcal{C}
C
suivante :
C
=
∫
−
1
5
1
(
x
−
1
)
3
d
x
\mathcal{C} = \int_{-1}^{5} \dfrac{1}{(x-1)^3} dx
C
=
∫
−
1
5
(
x
−
1
)
3
1
d
x
(
1 exercice
)
Exercice 1
30 min
45
🌶
🌶
Exercice 12 : Démontrer que l'intégrale
P
=
∫
0
π
1
x
sin
(
1
x
)
d
x
\mathcal{P} = \int_{0}^{\pi} \dfrac{1}{x} \sin \left( \dfrac{1}{x}\right) dx
P
=
∫
0
π
x
1
sin
(
x
1
)
d
x
est semi-converge
(
1 exercice
)
Exercice 1
30 min
45
🌶
🌶
Exercice 13 : Calculer
φ
(
α
)
=
∫
0
+
∞
1
x
2
+
α
d
x
\varphi(\alpha) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{x^2 + \alpha} dx
φ
(
α
)
=
∫
0
+
∞
x
2
+
α
1
d
x
(
1 exercice
)
Exercice 1
40 min
60
🌶
🌶
Exercice 14 : Etudier l'éventuelle convergence de l'intégrale généralisée
I
=
∫
0
+
∞
e
−
x
x
d
x
I = \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx
I
=
∫
0
+
∞
x
e
−
x
d
x
(
1 exercice
)
Exercice 1
40 min
65
🌶
🌶
🌶
Mise en situation sous forme de problèmes en vue des devoirs sur table
PROBLEME 1
(
1 exercice
)
Exercice 1
45 min
65
🌶
🌶
PROBLEME 2
(
1 exercice
)
Exercice 1
50 min
70
🌶
🌶
QCM D'ÉVALUATIONS
Évaluation n°1 du chapitre
45 min
65
Évaluation n°2 du chapitre
1 h
90