La disjonction des cas - Exercice 3

Pour faire cela, nous allons réaliser une démonstration par disjonction des cas.
Commençons par choisir un nombre entier naturel quelconque, que nous noterons $$n$$.
Nous allons distinguer selon la parité de $$n$$.
$$\bullet \,\,$$ Premier cas : si $$n$$ est pair alors $$n = 2p$$, avec $$p \in \mathbb{N}$$.
Ainsi $$\dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{2p(2p+1)}{2} = 2p(2p+1) = 4p^2 +2p = 2(2p^2 + p)$$. Comme $$p \in \mathbb{N}$$ alors $$p^2 \in \mathbb{N}$$, et de fait $$2p^2 \in \mathbb{N}$$ également. On en déduit donc que $$2p^2 + p \in \mathbb{N}$$, d'où $$2(2p^2 + p) \in \mathbb{N})$$
Ainsi, on a $$\dfrac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}$$.
$$\bullet \bullet \,\,$$ Deuxième cas : si $$n$$ est impair alors $$n = 2p+1$$, avec $$p \in \mathbb{N}$$.
Ainsi $$\dfrac{n(n+1)}{2} = \dfrac{(2p+1)(2p+1+1)}{2} = \dfrac{(2p+1)(2p+2)}{2} = \dfrac{2(2p+1)(p+1)}{2} = (2p+1)(p+1)$$. Comme $$p \in \mathbb{N}$$ alors $$2p \in \mathbb{N}$$, et de fait $$(2p+1) \in \mathbb{N}$$ également. On en déduit donc que $$(2p+1)(p+1) \in \mathbb{N}$$.
Ainsi, on a $$\dfrac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}$$.
On constate que dans tous les cas on a $$\dfrac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}$$. Ce qui prouve que nous avons démontré l'assertion suivante :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \, \dfrac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}$$. $${\color{blue}{\blacksquare}}$$