On réfléchit ! (2) - Exercice 1

45 min
70
Et encore !!
Question 1
Soit EE un ensemble.
Soit ff une application de EE dans EE.
On suppose que ff satisfait à la condition f∘f=ff \circ f = f.

Montrer que ff est injective si et seulement si ff est surjective.

Correction
Soit x∈Ex \in E. Puisque par hypothèse on a ff qui est surjective, cela signifie qu'il existe y∈Ey \in E tel que f(y)=xf(y) = x.
Dans ce cas, on a :
f(x)=f(f(y))=(f∘f)(y)=f(y)=xf(x) = f\big(f(y)\big) = \big( f \circ f\big)(y) = f(y) = x
Ainsi, ∀x∈E,  f(x)=x\forall x \in E, \,\, f(x) = x ce qui implique que f=IdEf = \mathrm{Id}_E.
Donc ff est bijective, et de fait, ff est automatiquement injective.

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.