Pour débuter : Injective, surjective et bijective - Exercice 2

Soit $$x_1$$ et $$x_2$$ deux nombre réels. On a :
$$\big( a(x_1) = a(x_2) \big) \Longrightarrow \big( x_1 + i x_1^2 = x_2 + i x_2^2 \big)$$
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et même partie imaginaire. Donc, on a :
$$\big( x_1 + i x_1^2 = x_2 + i x_2^2 \big) \Longrightarrow \big( (x_1 = x_2) \wedge (x_1^2 = x_2^2) \big)$$
De fait, cela implique que :
$$x_1 = x_2$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\bf{L'application \,\, proposée \,\, est \,\, injective}}}}$$

L'expression $$s(x) = x^2 + 2x - 1$$ représente un polynôme de degré $$2$$. En ce sens $$s$$ est continue. Comme le nombre présent devant le terme $$x^2$$ es $$1>0$$, cela signifie que $$s$$ est convexe. De fait le graphe représentatif de $$s$$ présente un minimum en $$x = m \in \mathbb{R}$$, tel que la dérivée première $$s'$$ y soit nulle. Donc :
$$s'(m) = 0 \,\, \Longleftrightarrow \,\, \big( 2x+2 \big)_{x = m} = 0 \,\, \Longleftrightarrow \,\, 2m+2 = 0 \,\, \Longleftrightarrow \,\, 2m = -2 \,\, \Longleftrightarrow \,\, m = -\dfrac{2}{2} \,\, \Longleftrightarrow \,\, m = -1$$
Le minimum vaut alors $$s(m)$$, avec :
$$s(m) = m^2 + 2m - 1 = (-1)^2 +2\times (-1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$$
Puis, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow \pm \infty} s(x) = \lim_{x \longrightarrow \pm \infty} \big( x^2 + 2x - 1 \big) = \lim_{x \longrightarrow \pm \infty} \big( x^2 \big) = + \infty$$
Donc ceci nous permet d'affirmer que dans l'intervalle $$[-2 \,;\, + \infty[$$, chaque élément $$y$$ admet, au moins, un antécédent $$x \in \mathbb{R}$$. En effet, on constate bien ceci graphiquement :
Ce qui nous permet de conclure que l'intervalle $$J$$ recherché est donné par :
$${\color{red}{\boxed{J = [-2 \,;\, + \infty[}}}$$

Soit $$i \in \mathbb{C}$$ tel que $$i^2 = -1$$.
Soit $$y \in [0 \,;\, 2\pi[$$. Si on pose $$z = e^{iy}$$ alors $$\arg(z) = y$$.
Ainsi, à chaque image $$y = s(z) = \arg(z) \in [0 \,;\, 2\pi[$$ il est toujours possible de trouver un antécédant $$z \in \mathbb{C}$$ car il suffit de choisir $$z = e^{iy} \in \mathbb{C}$$.
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\bf{L'application \,\, proposée \,\, est \,\, surjective}}}}$$

Nous allons vérifier l'assertion qui sert de définition à une bijection, à savoir :
$$\forall y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, \,\, \exist \,! \,x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}, \,\, y = b(x)$$
Pour faire ceci, commençons par choisir un un réel quelconque $$y$$. On a alors :
$$1 - y = 1 - \dfrac{x}{1+x} = \dfrac{1 + x}{1+x} - \dfrac{x}{1+x} = \dfrac{1+x-x}{1+x} = \dfrac{1}{1+x}$$
Donc, en multipliant par $$x$$, on obtient :
$$x(1-y) = \dfrac{x}{1+x}$$
Soit encore :
$$x(1-y) = y$$
On a donc montrer que pour $$y \in \mathbb{R}$$, on a :
$$\left( y = \dfrac{x}{1+x} \right) \Longleftrightarrow \big( x(1-y) = y \big)$$
On constate alors que :
$$\,\, \bullet \,\,$$ si $$y = 1$$ alors l'assertion de droite $$\big( x(1-y) = y \big)$$ est fausse car $$0 \neq 1$$ ;
$$\,\, \bullet \bullet \,\,$$ si $$y \neq 1$$ alors l'assertion de droite $$\big( x(1-y) = y \big)$$ est équivalente à $$x = \dfrac{y}{1-y}$$.
Autrement dit, si l'image réelle $$y =b(x) \neq 1$$ alors il existe $${\color{red}{\bf{un \,\, unique}}}$$ antécédent réel $$x$$ qui vaut $$x = \dfrac{y}{1-y}$$.
Ainsi, on a bien démontré que :
$$\forall y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, \,\, \exist \,! \,x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}, \,\, y = b(x)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\bf{L'application \,\, proposée \,\, est \,\, une \,\, bijection}}}}$$
On vérifie graphiquement ceci :

Soit $$x_1$$ et $$x_2$$ deux nombre réels. On a :
$$\big( f(x_1) = f(x_2) \big) \Longrightarrow \big( x_1^2 = x_2^2 \big) \Longrightarrow \big( x_1 = \pm x_2 \big)$$
On constate qu'il est possible d'avoir $$x_1 = - x_2$$, c'est-à-dire que $$x_1 \neq x_2$$.
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\bf{L'application \,\, proposée \,\, n'est \,\, pas \,\, une \,\, injection}}}}$$
En effet, on vérifie facilement que $$f\left(-2\right)=f\left(2\right)=4$$ . Il en résulte donc que $$f$$ n'est pas injective .

D'après la définition de l'application $$f$$, on a $$y \in \mathbb{R}$$. On constate que l'image $$y = -1$$ n'admet pas d'antécédent par l'application $$f$$.
En effet, graphiquement on vérifie ceci :
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\bf{L'application \,\, proposée \,\, n'est \,\, pas \,\, une \,\, surjection}}}}$$