Les séries entières

COURS
- Les séries entières
Rappels de cours et exercices
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n = 0}^{+ \infty} n! \, z^n$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    40
    🌶
- Déterminer le rayon de convergence $R$ et la somme (pour $|x|<R$ ) de la série entière suivante : $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^3+n+3}{n+1} x^n$
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    45
    🌶🌶
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière suivante : $S(x) = \sum_{n=3}^{+\infty} \dfrac{x^n}{(n+1)(n-2)}$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    45
    🌶🌶
- Résoudre par la méthode de Frobenius l'équation différentielle suivante : $(1-x^2) f''(x) - x f'(x) = 2$
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    50 min
    70
    🌶🌶
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n) !}{(n!)^2} x^n$
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    20 min
    35
    🌶🌶
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} n! x^{n^2}$
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    45
    🌶🌶
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série suivante $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n^2} x^n$
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    20 min
    35
    🌶🌶
- Déterminer le développement en série entière de la fonction $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ suivante : $f(x) = e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t$
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    50
    🌶🌶🌶
- Déterminer le développement en série entière (D.S.E) de la l'expression suivante : $f(x) = \dfrac{1}{6x^2-5x+1}$
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    45
    🌶🌶
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière réelle $\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n^2}$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    10 min
    15
    🌶
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=1}^{+\infty} x^n \ln(n)$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    45
    🌶🌶
- Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(n+1)2^n} \, x^{2n+1}$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    40 min
    65
    🌶🌶🌶
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n = 0}^{+\infty} \big( \ln(n!) \big)^2$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    45
    🌶🌶
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right)^{n^4} z^n$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    45
    🌶🌶
- Déterminer le développement en série entière (DSE) de l'expression fonctionnelle $\big( \sin(x) \big)^2$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    45
    🌶🌶
- Déterminer le développement en série entière (DSE) de l'expression fonctionnelle $e^{-x} \sin(x)$ .
  (1 exercice)
  - Exercice 1
    30 min
    50
    🌶🌶🌶
QCM D'ÉVALUATIONS
- Évaluation n°1 du chapitre
  1 h
  85
- Évaluation n°2 du chapitre
  1 h
  90

Les séries entières

COURS

Les séries entières

Rappels de cours et exercices

Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑n=0+∞n! zn\sum_{n = 0}^{+ \infty} n! \, z^nn=0∑+∞​n!zn.

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence RRR et la somme (pour ∣x∣<R|x|<R∣x∣<R) de la série entière suivante : S(x)=∑n=0+∞n3+n+3n+1xnS(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^3+n+3}{n+1} x^nS(x)=n=0∑+∞​n+1n3+n+3​xn

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence RRR de la série entière suivante : S(x)=∑n=3+∞xn(n+1)(n−2)S(x) = \sum_{n=3}^{+\infty} \dfrac{x^n}{(n+1)(n-2)}S(x)=n=3∑+∞​(n+1)(n−2)xn​.

Exercice 1

Résoudre par la méthode de Frobenius l'équation différentielle suivante : (1−x2)f′′(x)−xf′(x)=2(1-x^2) f''(x) - x f'(x) = 2 (1−x2)f′′(x)−xf′(x)=2

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence RRR de la série entière S(x)=∑n=0+∞(2n)!(n!)2xnS(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n) !}{(n!)^2} x^nS(x)=n=0∑+∞​(n!)2(2n)!​xn

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence RRR de la série S(x)=∑n=0+∞n!xn2S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} n! x^{n^2}S(x)=n=0∑+∞​n!xn2

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence RRR de la série suivante S(x)=∑n=0+∞(1+1n)n2xnS(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n^2} x^nS(x)=n=0∑+∞​(1+n1​)n2xn

Exercice 1

Déterminer le développement en série entière de la fonction f:R⟶Rf : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}f:R⟶R suivante : f(x)=ex2∫0xe−t2 dtf(x) = e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}tf(x)=ex2∫0x​e−t2dt

Exercice 1

Déterminer le développement en série entière (D.S.E) de la l'expression suivante : f(x)=16x2−5x+1f(x) = \dfrac{1}{6x^2-5x+1}f(x)=6x2−5x+11​

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence de la série entière réelle ∑n=1+∞xnn2\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n^2}n=1∑+∞​n2xn​.

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑n=1+∞xnln⁡(n)\sum_{n=1}^{+\infty} x^n \ln(n)n=1∑+∞​xnln(n).

Exercice 1

Déterminer la rayon de convergence de la série entière ∑n=0+∞1(n+1)2n x2n+1\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(n+1)2^n} \, x^{2n+1}n=0∑+∞​(n+1)2n1​x2n+1.

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑n=0+∞(ln⁡(n!))2\sum_{n = 0}^{+\infty} \big( \ln(n!) \big)^2n=0∑+∞​(ln(n!))2.

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑n=1+∞(12(cosh⁡(1n)+cos⁡(1n)))n4zn\sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right)^{n^4} z^nn=1∑+∞​(21​(cosh(n1​)+cos(n1​)))n4zn.

Exercice 1

Déterminer le développement en série entière (DSE) de l'expression fonctionnelle (sin⁡(x))2\big( \sin(x) \big)^2(sin(x))2.

Exercice 1

Déterminer le développement en série entière (DSE) de l'expression fonctionnelle e−xsin⁡(x)e^{-x} \sin(x)e−xsin(x).

Exercice 1

QCM D'ÉVALUATIONS

Évaluation n°1 du chapitre

Évaluation n°2 du chapitre

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n = 0}^{+ \infty} n! \, z^n$ .

Déterminer le rayon de convergence $R$ et la somme (pour $|x|<R$ ) de la série entière suivante : $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^3+n+3}{n+1} x^n$

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière suivante : $S(x) = \sum_{n=3}^{+\infty} \dfrac{x^n}{(n+1)(n-2)}$ .

Résoudre par la méthode de Frobenius l'équation différentielle suivante : $(1-x^2) f''(x) - x f'(x) = 2$

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n) !}{(n!)^2} x^n$

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} n! x^{n^2}$

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série suivante $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( 1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n^2} x^n$

Déterminer le développement en série entière de la fonction $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ suivante : $f(x) = e^{x^2} \int_{0}^{x} e^{-t^2} \, \mathrm{d}t$

Déterminer le développement en série entière (D.S.E) de la l'expression suivante : $f(x) = \dfrac{1}{6x^2-5x+1}$

Déterminer le rayon de convergence de la série entière réelle $\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n^2}$ .

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=1}^{+\infty} x^n \ln(n)$ .

Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(n+1)2^n} \, x^{2n+1}$ .

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n = 0}^{+\infty} \big( \ln(n!) \big)^2$ .

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{2} \left( \cosh \left( \dfrac{1}{n} \right) + \cos \left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right)^{n^4} z^n$ .

Déterminer le développement en série entière (DSE) de l'expression fonctionnelle $\big( \sin(x) \big)^2$ .

Déterminer le développement en série entière (DSE) de l'expression fonctionnelle $e^{-x} \sin(x)$ .