Exercice 9 : les suites adjacentes - Exercice 2

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On définit, pour tout entier naturel nn, les suites (an)\left(a_n\right) et (bn)\left(b_n\right) par : {a0∈R+∗an+1=2an+bn3\left\{\begin{array}{ccc} {a_{0}\in \mathbb{R^{*}_{+}} } & {} & {} \\ {a_{n+1} } & {=} & {\frac{2a_n+b_n}{3}} \end{array}\right. et     \;\; {b0∈R+∗bn+1=an+3bn4\left\{\begin{array}{ccc} {b_{0}\in \mathbb{R^{*}_{+}} } & {} & {} \\ {b_{n+1} } & {=} & {\frac{a_n+3b_n}{4}} \end{array}\right. avec b0>a0b_{0}> a_{0} .
On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie, pour tout entier naturel nn, par un=bn−anu_n=b_n-a_n .
Question 1

Montrer que la suite (un)\left(u_n\right) est géométrique. En préciser la raison.

Correction
un=bn−anu_n=b_n-a_n
un+1=bn+1−an+1u_{n+1}=b_{n+1}-a_{n+1}
un+1=an+3bn4−2an+bn3u_{n+1}=\frac{a_n+3b_n}{4}-\frac{2a_n+b_n}{3}
un+1=3(an+3bn)12−4(2an+bn)12u_{n+1}=\frac{3\left(a_n+3b_n\right)}{12}-\frac{4\left(2a_n+b_n\right)}{12}
un+1=3(an+3bn)−4(2an+bn)12u_{n+1}=\frac{3\left(a_n+3b_n\right)-4\left(2a_n+b_n\right)}{12}
un+1=3an+9bn−8an−4bn12u_{n+1}=\frac{3a_n+9b_n-8a_n-4b_n}{12}
un+1=5bn−5an12u_{n+1}=\frac{5b_n-5a_n}{12}
un+1=512(bn−an)u_{n+1}=\frac{5}{12}\left(b_n-a_n\right)
Ainsi :
un+1=512unu_{n+1}=\frac{5}{12}u_n

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=512q=\frac{5}{12} et de premier terme u0=a0−b0u_{0} =a_{0}-b_{0} .
Question 2

Donner l’expression de unu_n en fonction de l’entier naturel nn. Déterminer, ensuite, la limite de (un)\left(u_n\right) .

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
un=(a0−b0)×(512)nu_{n} =\left(a_{0}-b_{0}\right)\times \left(\frac{5}{12}\right)^{n}
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<512<1-1<\frac{5}{12}<1 alors :
lim⁡n→+∞(512)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{12}\right)^{n} =0
Comme b0>a0b_{0}> a_{0} alors b0−a0>0b_{0}-a_{0}>0.
lim⁡n→+∞(a0−b0)×(512)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(a_{0}-b_{0}\right)\times \left(\frac{5}{12}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0

Question 3

Étudier les variations de la suite (an)\left(a_n\right).

Correction
Soit {a0∈R+∗an+1=2an+bn3\left\{\begin{array}{ccc} {a_{0}\in \mathbb{R^{*}_{+}} } & {} & {} \\ {a_{n+1} } & {=} & {\frac{2a_n+b_n}{3}} \end{array}\right.
Il vient alors que :
an+1−an=2an+bn3−ana_{n+1}-a_{n}=\frac{2a_n+b_n}{3}-a_n
an+1−an=2an+bn−3an3a_{n+1}-a_{n}=\frac{2a_n+b_n-3a_n}{3}
an+1−an=bn−an3a_{n+1}-a_{n}=\frac{b_n-a_n}{3}
Or : un=bn−anu_n=b_n-a_n
Ainsi :
an+1−an=13una_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3}u_n

D'après la question 11, nous avons vu que : un=(a0−b0)×(512)nu_{n} =\left(a_{0}-b_{0}\right)\times \left(\frac{5}{12}\right)^{n} avec b0−a0>0b_{0}-a_{0}>0
Il en résulte donc que 13un>0\frac{1}{3}u_n>0 et s'ensuit que an+1−an>0a_{n+1}-a_{n}>0
La suite (an)\left(a_n\right) est donc croissante.
Question 4

Étudier les variations de la suite (bn)\left(b_n\right).

Correction
{b0∈R+∗bn+1=an+3bn4\left\{\begin{array}{ccc} {b_{0}\in \mathbb{R^{*}_{+}} } & {} & {} \\ {b_{n+1} } & {=} & {\frac{a_n+3b_n}{4}} \end{array}\right.
Il vient alors que :
bn+1−bn=an+3bn4−bnb_{n+1}-b_{n}=\frac{a_n+3b_n}{4}-b_n
bn+1−bn=an+3bn−4bn4b_{n+1}-b_{n}=\frac{a_n+3b_n-4b_n}{4}
bn+1−bn=an−bn4b_{n+1}-b_{n}=\frac{a_n-b_n}{4}
Or : un=bn−anu_n=b_n-a_n
Ainsi :
bn+1−bn=−14unb_{n+1}-b_{n}=-\frac{1}{4}u_n

D'après la question 11, nous avons vu que : un=(a0−b0)×(512)nu_{n} =\left(a_{0}-b_{0}\right)\times \left(\frac{5}{12}\right)^{n} avec b0−a0>0b_{0}-a_{0}>0
Il en résulte donc que −14un<0-\frac{1}{4}u_n<0 et s'ensuit que bn+1−bn<0b_{n+1}-b_{n}<0
La suite (bn)\left(b_n\right) est donc décroissante.
Question 5

Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an)\left(a_n\right) et (bn)\left(b_n\right) ?

Correction
Deux suites (un)n∈N{\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}} et (vn)n∈N{\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}} sont dites adjacentes si et seulement si :
  • l'une est croissante
  • l'autre est décroissante
  • lim⁡n→+∞(un−vn)=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(u_n-v_n\right)=0
    • Remarque : Si (un)n∈N{\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}} et (vn)n∈N{\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}} sont adjacentes alors elles convergent en une même limite ℓ\ell .
    D'après les questions précédentes :
  • La suite (an)\left(a_n\right) est croissante.
  • La suite (bn)\left(b_n\right) est décroissante.
  • lim⁡n→+∞(un−vn)=0.\lim\limits_{n\to +\infty } \left(u_n-v_n\right)=0 .
    • Il en résulte donc que les suites (an)\left(a_n\right) et (bn)\left(b_n\right) convergent vers une même limite ℓ\ell

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