Pour apprendre - Exercice 2

Il est important d'apprendre le sens du symbole de sommation discrète $$\sum$$ (à bien différentier de celui de la sommation continue $$\int$$) et celui de produit $$\prod$$.
Lorsqu'une somme discrète apparait vous devez, en premier lieu, observer l'indice de sommation et bien déterminer les quantité qui dépende de ce dernier.
Par exemple, l'écriture suivante $$\sum_{k=2}^6 k^2$$ signifie simplement que l'on va sommer la quantité $$k^2$$ en sommant sur les valeurs discrètes entières naturelles de $$k$$, allant de $$2$$ jusqu'à $$6$$.
Ainsi, on obtient : $$\sum_{k=2}^6 k^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90$$. Vous voyez, c'est SIMPLE !!!

On constate que dans cette somme $$S_1$$, la quantité sommée, à savoir $${\color{blue}{3}}$$, ne dépend pas de l'indice de sommation $$k$$. On a alors :
$$S_1 = \sum_{k=0}^9 {\color{blue}{3}} = {\color{blue}{3}} \times \sum_{k=0}^9 1 = {\color{blue}{3}} \times (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)$$
Le chiffre $$1$$ se répète $$\left(9-0+1\right)$$ fois.
Ce qui nous donne :
$$S_1 = {\color{blue}{3}} \times (10)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{S_1 = 30}}}$$

On constate que dans cette somme $$S_2$$, la quantité sommée, à savoir $${\color{blue}{i^2}}$$, ne dépend pas de l'indice de sommation $$k$$. On a alors :
$$S_2 = \sum_{k=0}^4 {\color{blue}{i^2}} = {\color{blue}{i^2}} \times \sum_{k=0}^4 1 = {\color{blue}{i^2}} \times (1+1+1+1+1)$$
Le chiffre $$1$$ se répète $$\left(4-0+1\right)$$ fois.
Ce qui nous donne :
$$S_2 = {\color{blue}{i^2}} \times (5)$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{S_2 = 5i^2}}}$$

On constate que dans cette somme $$S_3$$, la quantité sommée, à savoir $${\color{blue}{\dfrac{1}{k}}}$$, dépend de l'indice de sommation $$k$$. On a alors :
$$S_3 = \sum_{k=1}^4 {\color{blue}{\dfrac{1}{k}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$$
Ce qui nous donne :
$$S_3 = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{18}{12} + \dfrac{7}{12}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{S_3 = \dfrac{25}{12}}}}$$

On constate que dans cette somme $$S_4$$, la quantité sommée, à savoir $${\color{blue}{\left(\dfrac{1}{4}\right)^k}}$$, dépend de l'indice de sommation $$k$$. On a alors :
$$S_4 = \sum_{k=0}^5 {\color{blue}{\left(\dfrac{1}{4}\right)^k}} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^1 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^4 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^5$$
On remarque qu'il s'agit d'une somme qui est constituée par les six premiers termes d'une $${\color{blue}{\,\, \text{suite géométrique}}}$$, notée $$(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$$, de premier terme $$u_0 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = 1$$, et de raison $$q = \dfrac{1}{4}$$. Ce qui nous donne :
$$S_4 = u_0 \times \dfrac{1-q^6}{1-q} = 1 \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^6}{1-\dfrac{1}{4}}$$
Donc :
$$S_4 = \dfrac{1-\dfrac{1^6}{4^6}}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{1-\dfrac{1}{4096}}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\dfrac{4095}{4096}}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{4095}{4096} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{4095}{1024} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1365}{1024} \times \dfrac{1}{1}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{S_4 = \dfrac{1365}{1024}}}}$$

Cette somme $$S_5$$ n'existe pas ! En effet, le premier terme de cette sommation est $$\left(\dfrac{1}{0}\right)^0$$. Ce terme fait apparaitre une division par $$0$$, et de fait ce terme n'existe pas !
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\nexists \, S_5 \in \mathbb{R}}}}$$

On constate que dans ce produit $$P_1$$, la quantité sommée, à savoir $${\color{blue}{3}}$$, ne dépend pas de l'indice de sommation $$k$$. On a alors :
$$P_1 = \prod_{k=0}^9 {\color{blue}{3}} = {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}} \times {\color{blue}{3}}$$
Ce qui nous donne :
$$P_1 = {\color{blue}{3}}^{10}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_1 = 59049}}}$$

On constate que dans ce produit $$P_2$$, la quantité produite, à savoir $${\color{blue}{k^{k-1}}}$$, dépend de l'indice de multiplication $$k$$. On a alors :
$$P_2 = \prod_{k=1}^3 {\color{blue}{k^{k-1}}} = {\color{blue}{1^{1-1}}} \times {\color{blue}{2^{2-1}}} \times {\color{blue}{3^{3-1}}}$$
Ce qui nous donne :
$$P_2 = \prod_{k=1}^3 {\color{blue}{k^{k-1}}} = {\color{blue}{1^0}} \times {\color{blue}{2^1}} \times {\color{blue}{3^2}}$$
Soit encore :
$$P_2 = \prod_{k=1}^3 {\color{blue}{k^{k-1}}} = {\color{blue}{1}} \times {\color{blue}{2}} \times {\color{blue}{9}}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{P_2 = 18}}}$$

On constate que dans cette somme $$S_8$$, la quantité sommée, à savoir $${\color{blue}{\left(\dfrac{1}{n}\right)^k}}$$, dépend de l'indice de sommation $$k$$. On a alors :
$$S_8 = \lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty} \left( \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^1 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 + \cdots + \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} + \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \right)$$
On remarque que l'expression dans la parenthèse est une somme qui est constituée par $$n+1$$ termes d'une $${\color{blue}{\,\, \text{suite géométrique}}}$$, notée $$(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$$, de premier terme $$u_0 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^0 = 1$$, et de raison $$q = \dfrac{1}{4}$$. Ce qui nous donne :
$$S_8 = \lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty} \left(u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right) = \lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty} \left(1 \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{4}} \right)$$
Donc :
$$S_8 = \dfrac{1- \displaystyle{\lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty}} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{4}}$$
Comme $$\dfrac{1}{4} < 1$$ alors $$\displaystyle{\lim_{n \, \longrightarrow \, +\infty}} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1} = 0$$. Ainsi :
$$S_8 = \dfrac{1- 0}{1-\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{4}}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{S_8 = \dfrac{4}{3}}}}$$