Valeur absolue : savoir résoudre les équations de la forme ∣x∣=b\left|x\right|=b et ∣x−a∣=b\left|x-a\right|=b - Exercice 2

12 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1
Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes :

∣x−8∣=1\left|x-8\right|=1

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣x−8∣=1\left|x-8\right|=1 équivaut successivement à :
x−8=1x-8=1 ou x−8=−1x-8=-1
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
x−8=1x-8=1
x=1+8x=1+8
x=9x=9
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
x−8=−1x-8=-1
x=−1+8x=-1+8
x=7x=7
Les solutions de l'équation ∣x−8∣=1\left|x-8\right|=1 est :
S={7;9}S=\left\{7;9\right\}
Question 2

∣3x−8∣=7\left|3x-8\right|=7

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣3x−8∣=7\left|3x-8\right|=7 équivaut successivement à :
3x−8=73x-8=7 ou 3x−8=−73x-8=-7
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
3x−8=73x-8=7
3x=8+73x=8+7
3x=153x=15
x=153x=\frac{15}{3}
x=5x=5
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
3x−8=−73x-8=-7
3x=−7+83x=-7+8
3x=13x=1
x=13x=\frac{1}{3}
Les solutions de l'équation ∣3x−8∣=7\left|3x-8\right|=7 est :
S={13;5}S=\left\{\frac{1}{3};5\right\}
Question 3

∣x∣=6\left|x\right|=6

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣x∣=6\left|x\right|=6 équivaut successivement à :
x=6x=6 ou x=−6x=-6
Les solutions de l'équation ∣x∣=6\left|x\right|=6 est :
S={−6;6}S=\left\{-6;6\right\}
Question 4

∣x+11∣=4\left|x+11\right|=4

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣x+11∣=4\left|x+11\right|=4 équivaut successivement à :
x+11=4x+11=4 ou x+11=−4x+11=-4
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
x+11=4x+11=4
x=4−11x=4-11
x=−7x=-7
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
x+11=−4x+11=-4
x=−4−11x=-4-11
x=−15x=-15
Les solutions de l'équation ∣x+11∣=4\left|x+11\right|=4 est :
S={−15;−7}S=\left\{-15;-7\right\}
Question 5

∣4x+10∣=6\left|4x+10\right|=6

Correction
Soit aa un réel positif alors :
  • ∣x∣=a\left|x\right|= {\color{blue}a} est équivalent à x=ax={\color{blue}a} ou x=−ax=-{\color{blue}a}
∣4x+10∣=6\left|4x+10\right|=6 équivaut successivement à :
4x+10=64x+10=6 ou 4x+10=−64x+10=-6
 Reˊsolvons d’une part :\red{\text{ Résolvons d'une part :}}
4x+10=64x+10=6
4x=6−104x=6-10
4x=−44x=-4
x=−44x=-\frac{4}{4}
x=−1x=-1
 Reˊsolvons d’autre part :\red{\text{ Résolvons d'autre part :}}
4x+10=−64x+10=-6
4x=−6−104x=-6-10
4x=−164x=-16
x=−164x=-\frac{16}{4}
x=−4x=-4
Les solutions de l'équation ∣4x+10∣=6\left|4x+10\right|=6 est :
S={−4;−1}S=\left\{-4;-1\right\}

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