Valeur absolue : savoir résoudre les inéquations de la forme $\left|x-a\right|\le r$ et $\left|x-a\right|< r$ - Exercice 3

4 min

Question 1

Résoudre dans

\mathbb{R}

les inéquations suivantes :

$\left|x-3\right|\le 7$

Correction

Pour tous nombres réels

a

r

, avec

r

un réel positif alors :

$\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r}$ est équivalent à $x\in \left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right]$
$\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r}$ est équivalent à $x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[$

On a donc :

\left|x-{\color{red}3}\right|\le {\color{blue}7}

est équivalent à :

x\in \left[{\color{red}3}-{\color{blue}7};{\color{red}3}+{\color{blue}7}\right]

Finalement :

\left|x-3\right|\le 7 \Leftrightarrow x\in\left[-4;10\right]

Question 2

Correction

Pour tous nombres réels

a

r

, avec

r

un réel positif alors :

$\left|x-{\color{red}a}\right|\le {\color{blue}r}$ est équivalent à $x\in \left[{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right]$
$\left|x-{\color{red}a}\right|< {\color{blue}r}$ est équivalent à $x\in \left]{\color{red}a}-{\color{blue}r};{\color{red}a}+{\color{blue}r}\right[$

Tout d'abord nous allons transformer l'expression

\left|x+2\right|\le 10

sous la forme

\left|x-\left(-2\right)\right|\le 10

.
Cela nous fait apparaitre la forme présente dans le rappel.
On a donc :

\left|x-\left({\color{red}-2}\right)\right|\le {\color{blue}10}

est équivalent à :

x\in \left[{\color{red}-2}-{\color{blue}10};{\color{red}-2}+{\color{blue}10}\right]

Finalement :

\left|x+2\right|\le 10\Leftrightarrow x\in\left[-12;8\right]

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