Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues : Méthode par substitution - Exercice 4

6 min
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Résoudre le système avec la méthode par substitution.
Question 1

{2x+3y=75x+y=6\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+3y} & {=} & {7} \\ {5x+y} & {=} & {6} \end{array}\right.

Correction
Il nous faut résoudre le système suivant :
{2x+3y=75x+y=6\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+3y} & {=} & {7} \\ {5x+{\color{red}y}} & {=} & {6} \end{array}\right. . Nous allons résoudre le système à l'aide de la méthode par substitution. Pour cela, on cherche une inconnue dont le coefficient vaut 11. Ici, à la deuxième ligne du système nous avons y{\color{red}y}. Nous allons donc exprimer yy en fonction de xx. Il vient alors que :
{2x+3y=7y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+3y} & {=} & {7} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right. . Nous allons maintenant remplacer yy par 6−5x6-5x dans la première ligne .
{2x+3×(6−5x)=7y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+3\times\left(6-5x\right)} & {=} & {7} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right. . Maintenant, la première ligne est une équation à une inconnue que nous allons résoudre :
{2x+3×6+3×(−5)x=7y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+3\times6+3\times\left(-5\right)x} & {=} & {7} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right.
{2x+18−15x=7y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {2x+18-15x} & {=} & {7} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right.
{−13x+18=7y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {-13x+18} & {=} & {7} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right.
{−13x=7−18y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {-13x} & {=} & {7-18} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right.
{−13x=−11y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {-13x} & {=} & {-11} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right.
{x=−11−13y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{-11}{-13}} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right.
{x=1113y=6−5x\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{11}{13}} \\ {y} & {=} & {6-5x} \end{array}\right. Maintenant, nous connaissons la valeur de xx, il suffit de remplacer dans la deuxième ligne le xx par 1113\frac{11}{13}. Il vient :
{x=1113y=6−5×1113\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{11}{13}} \\ {y} & {=} & {6-5\times\frac{11}{13}} \end{array}\right.
{x=1113y=7813−5513\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{11}{13}} \\ {y} & {=} & {\frac{78}{13}-\frac{55}{13}} \end{array}\right.
{x=1113y=2313\left\{\begin{array}{ccccccc} {x} & {=} & {\frac{11}{13}} \\ {y} & {=} & {\frac{23}{13}} \end{array}\right.
Le couple solution du système est alors :
S={(1113;2313)}S=\left\{\left(\frac{11}{13};\frac{23}{13}\right)\right\}

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