Apprendre à démontrer - Exercice 2

D'après les hypothèses, $$n-1$$ est un multiple de $$3$$. Cela signifie qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que $$n-1=3k$$ ce qui nous permet d'écrire que $$n=3k+1$$ .
Calculons maintenant $$n^2-1\$$en substituant $$n$$ par $$3k+1.$$
Il vient alors que :
$$n^2-1={\left(3k+1\right)}^2-1$$
$$n^2-1={\left(3k\right)}^2+2\times 3k\times 1+1^2-1$$
$$n^2-1=9k^2+6k+1-1$$
$$n^2-1=9k^2+6k$$
$$n^2-1=3\times {\color{blue}{3}}{\times k}^2+{\color{blue}{3}}\times 2\times k$$ . Nous allors factoriser l'expression par $${\color{blue}{3}}$$ .
$$n^2-1={\color{blue}{3}}\left(3k^2+2k\right)$$
Comme $$k\in \mathbb{N}$$ alors $$\left(3k^2+2k\right)\in \mathbb{N}$$ . On peut alors poser $$q=3k^2+2k$$ o\`{u} $$q\in \mathbb{N}$$ .
Ainsi :
Il en résulte donc que $$n^2-1$$ est également un entier naturel multiple de $$3$$.