Calculer une distance dans un repère orthonormé - Exercice 2

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Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(−1;1)A\left(-1;1 \right) ; B(−3;3)B\left(-3;3\right) et C(2;4)C\left(2;4\right).
Question 1

Placer les points dans un repère.

Correction
Question 2

Quelle est la nature du triangle ABCABC?

Correction
Calculons les longueurs des trois côtés du triangle ABCABC.
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right). La distance ABAB est donnée par la formule :
  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
Ainsi :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2⇔AB=(−3−(−1))2+(3−1)2⇔AB=(−2)2+22AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(-3-\left(-1\right)\right)^{2} +\left(3-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +2^{2} }
D'où :
AB=8AB=\sqrt{8}

AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2⇔AC=(2−(−1))2+(4−1)2⇔AC=32+32AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AC=\sqrt{\left(2-\left(-1\right)\right)^{2} +\left(4-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AC=\sqrt{3^{2} +3^{2} }
D'où :
AC=18AC=\sqrt{18}

BC=(xC−xB)2+(yC−yB)2⇔BC=(2−(−3))2+(4−3)2⇔BC=52+12BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }\Leftrightarrow BC=\sqrt{\left(2-\left(-3\right)\right)^{2} +\left(4-3\right)^{2} } \Leftrightarrow BC=\sqrt{5^{2} +1^{2} }
D'où :
BC=26BC=\sqrt{26}

D’une part :\red{\text{D'une part :}} BC2=(26)2=26BC^{2}=\left(\sqrt{26}\right)^{2}=26
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} AC2+AB2=(18)2+(8)2AC^{2}+AB^{2}=\left(\sqrt{18}\right)^{2}+\left(\sqrt{8}\right)^{2} ainsi : AC2+AB2=18+8=26AC^{2}+AB^{2}=18+8=26
Il en résulte donc que :
BC2=AB2+AC2BC^{2} =AB^{2} +AC^{2} alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est rectangle en AA.

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