Calculer une distance dans un repère orthonormé - Exercice 4

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle $$ABC$$.
Ainsi :
$$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(3-1\right)^{2} +\left(3-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AB=\sqrt{2^{2} +2^{2} }$$
D'où :
$$AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AC=\sqrt{\left(3-1\right)^{2} +\left(-1-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AC=\sqrt{2^{2} +\left(-2\right)^{2} }$$
D'où :
$$BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }\Leftrightarrow BC=\sqrt{\left(3-3\right)^{2} +\left(-1-3\right)^{2} } \Leftrightarrow BC=\sqrt{0^{2} +\left(-4\right)^{2} }$$
D'où :
Nous pouvons déjà observé que le triangle est isocèle car $$AB=AC$$.
De plus :

$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$BC^{2}=4^{2}=16$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$AC^{2}+AB^{2}=\left(\sqrt{8}\right)^{2}+\left(\sqrt{8}\right)^{2}$$ ainsi : $$AC^{2}+AB^{2}=8+8=16$$
Il en résulte donc que :
$$BC^{2} =AB^{2} +AC^{2}$$ alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$ABC$$ est isocèle rectangle en $$A$$.