Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 4

Notons $$H\left(x_{H} ;y_{H} \right)$$ le milieu du segment $$\left[AB\right]$$.
Il vient alors que :
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{H} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{H} =\frac{-5+3 }{2}$$
$$x_{H} =\frac{-2}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{H} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}$$
$$y_{H} =\frac{5-3}{2}$$
$$y_{H} =\frac{2}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$H$$ du segment $$\left[AB\right]$$ sont $$H\left(-1 ;1 \right)$$.
Or les coordonnées du point $$H$$ sont les mêmes que celles du point $$D$$.
Il en résulte donc que le point $$D$$ est bien le milieu du segment $$\left[AB\right]$$.

Il va nous falloir calculer les longueurs $$AB$$, $$AC$$ et $$BC$$ du triangle $$ABC$$.
Ainsi :
$$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(3-\left(-5\right)\right)^{2} +\left(-3-5\right)^{2} } \Leftrightarrow AB=\sqrt{8^{2} +\left(-8\right)^{2} }$$
D'où :
$$AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AC=\sqrt{\left(-5-\left(-5\right)\right)^{2} +\left(-3-5\right)^{2} } \Leftrightarrow AC=\sqrt{0^{2}+\left(-8\right)^{2} }$$
D'où :
$$BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }\Leftrightarrow BC=\sqrt{\left(-5-3\right)^{2} +\left(-3-\left(-3\right)\right)^{2} } \Leftrightarrow BC=\sqrt{\left(-8\right)^{2} +0^{2} }$$
D'où :
Nous avons $$AB^{2} =AC^{2} +BC^{2}$$ alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$C$$.

Il vient alors que :
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{I} =\frac{x_{A} +x_{E} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{I} =\frac{-5+9 }{2}$$
$$x_{I} =\frac{4}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{I} =\frac{y_{A} +y_{E} }{2}$$
$$y_{I} =\frac{5-1}{2}$$
$$y_{I} =\frac{4}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$I$$ du segment $$\left[AE\right]$$ sont $$I\left(2;2 \right)$$.

Les diagonales sont les segments $$\left[AE\right]$$ et $$\left[BF\right]$$.
D'après la question $$4$$ nous savons que le point $$I$$ est le milieu du segment $$\left[AE\right]$$. Pour que $$ABEF$$ soit un parallélogramme, il faut que le point $$I$$ soit également le milieu du segment $$\left[BF\right]$$.
Soit $$F\left(x_{F} ;y_{F} \right)$$ le point recherché. Il vient alors que :
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{I} =\frac{x_{B} +x_{F} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$2 =\frac{3+x_{F}}{2}$$ . Ici, nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$\frac{2\times2}{2} =\frac{3+x_{F}}{2}$$
$$\frac{4}{2} =\frac{3+x_{F}}{2}$$
$$4=3+x_{F}$$
$$3+x_{F}=4$$
$$x_{F}=4-3$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{I} =\frac{y_{B} +y_{F} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$2 =\frac{-3+y_{F}}{2}$$. Ici, nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$\frac{2\times2}{2} =\frac{-3+y_{F}}{2}$$
$$\frac{4}{2} =\frac{-3+y_{F}}{2}$$
$$4=-3+y_{F}$$
$$-3+y_{F}=4$$
$$y_{F}=4+3$$

Les coordonnées du point $$F$$ tel que $$ABEF$$ soit un parallélogramme sont $$F\left(1;7 \right)$$