Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

$$g\left(0\right)=0\times \cos \left(0\right)-\sin \left(0\right)$$ ainsi :
$$g\left(\pi\right)=\pi\times \cos \left(\pi\right)-\sin \left(\pi\right)$$ ainsi :

$$g$$ est dérivable sur $$\left[0;\pi \right]$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=\cos \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right)$$, enfin $$w'\left(x\right)=-\cos \left(x\right)$$
Il vient alors que :
$$g'\left(x\right)=1\times \cos \left(x\right)+x\times (-\sin \left(x\right))-\cos \left(x\right)$$

Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;\pi \right]$$, on sait que $$x\ge 0$$ donc $$-x\le 0$$.
Pour tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;\pi \right]$$, on sait que $$\sin \left(x\right)\ge0$$.
Nous allons traduire cela dans un tableau de variation :

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;\pi \right]$$. Ainsi :

$$f'$$ est dérivable sur $$\left[0;\pi \right]$$. Ainsi :

$$f''$$ est dérivable sur $$\left[0;\pi \right]$$. Ainsi :

Pour tout réel $$x$$ appartenant à $$\left[0;\pi \right]$$ , on a : $$f'''\left(x\right)=-\cos \left(x\right)+1$$
Or :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1\le -\cos \left(x\right)\le 1$$
$$0\le -\cos \left(x\right)+1\le 1$$
$$0\le f'''\left(x\right)\le 1$$ . Ainsi sur l'intervalle $$\left[0;\pi \right]$$, on a : $$f'''\left(x\right)\ge0$$.
De plus :
$$f''\left(0\right)=-\sin \left(0\right)+0$$ c'est à dire $$f''\left(0\right)=0$$
$$f''\left(\pi\right)=-\sin \left(\pi\right)+\pi$$ c'est à dire $$f''\left(\pi\right)=\pi$$
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

D'après la question $$4$$, on vérifie facilement que $$f''\left(x\right)\ge0$$. En effet, $$f''$$ est strictement croissante et son minimum vaut $$0$$.
Il en résulte donc que $$f'$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;\pi \right]$$.
De plus :
$$f'\left(0\right)=\cos \left(0\right)-1+\frac{0^{2}}{2}$$ ainsi $$f'\left(0\right)=0$$
$$f'\left(\pi\right)=\cos \left(\pi\right)-1+\frac{\pi^{2}}{2}$$ ainsi $$f'\left(\pi\right)=-2+\frac{\pi^{2}}{2}$$ et $$f'\left(\pi\right)\approx2,93>0$$
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

D'après la question $$5$$, on vérifie facilement que $$f'\left(x\right)\ge0$$. En effet, $$f'$$ est strictement croissante et son minimum vaut $$0$$.
Il en résulte donc que $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$\left[0;\pi \right]$$.
De plus :
$$f\left(0\right)=\sin \left(0\right)-0+\frac{0^{3}}{6}$$ ainsi $$f\left(0\right)=0$$
$$f\left(\pi\right)=\sin \left(\pi\right)-\pi+\frac{\pi^{3}}{6}$$ ainsi $$f\left(\pi\right)=-\pi+\frac{\pi^{3}}{6}$$ et $$f\left(\pi\right)\approx2,02>0$$
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

D'après la question $$6$$, on vérifie facilement que $$f\left(x\right)\ge0$$. En effet, $$f$$ est strictement croissante et son minimum vaut $$0$$.
Il en résulte donc que sur l'intervalle $$\left[0;\pi \right]$$, on a :
$$\sin \left(x\right)-x+\frac{x^{3}}{6}\ge0$$ ce qui signifie que : $$\sin \left(x\right)\ge x-\frac{x^{3}}{6}$$.
De plus, pour tout réel $$x$$ appartenant à $$\left[0;\pi \right]$$, on a : $$\sin \left(x\right)\le 1$$.
Autrement, pour tout réel $$x$$ appartenant à $$\left[0;\pi \right]$$ :