Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-2\le 2\sin \left(x\right)\le 2$$
$$-2+2x\le 2\sin \left(x\right)+2x\le 2+2x$$

• D'une part $$\lim\limits_{x\to -\infty } -2+2x=-\infty$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to -\infty } 2+2x=-\infty$$.

Attention, ici on ne peut pas conclure avec le théorème des gendarmes.
En effet, les limites doivent êtres finies.
Dans ce cas, on va utiliser le théorème de comparaison.
Comme $$\lim\limits_{x\to -\infty } 2+2x=-\infty$$ et que $$2x+2\sin \left(x\right)\le 2+2x$$.
Alors, d'après le théorème de comparaison

Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-2\le 2\sin \left(x\right)\le 2$$
$$-2+2x\le 2\sin \left(x\right)+2x\le 2+2x$$

• D'une part $$\lim\limits_{x\to +\infty } -2+2x=+\infty$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to +\infty } 2+2x=+\infty$$.

Attention, ici on ne peut pas conclure avec le théorème des gendarmes.
En effet, les limites doivent êtres finies.
Dans ce cas, on va utiliser le théorème de comparaison.
Comme $$\lim\limits_{x\to +\infty } -2+2x=+\infty$$ et que $$-2+2x \le2x+2\sin \left(x\right)$$.
Alors, d'après le théorème de comparaison

Il nous faut étudier les variations de la fonction $$f$$.
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On a :
Or pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à
$$-2\le 2\cos \left(x\right)\le 2$$
$$0\le 2+2\cos \left(x\right)\le 4$$
Il en résulte que :
Ainsi pour tout réel $$x$$, on a $$f'\left(x\right)\ge 0$$, donc la fonction $$f$$ est croissante sur $$\mathbb{R}$$.
On traduit cela dans un tableau de variation, il vient alors :

Nous faisons apparaître le zéro recherché dans le tableau de variation donnée. Il vient alors que :
Sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante.
De plus, $$\lim\limits_{x\to -\infty } f\left(x\right)=-\infty$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } f\left(x\right)=+\infty$$ .
Or $$0\in \left]-\infty;+\infty\right[$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ appartenant à l'intervalle $$\left]-\infty;+\infty\right[$$ tel que $$f\left(x\right)=0$$.

$$f\left(0\right)=2\times0+2\sin \left(0\right)$$

Il en résulte donc que $$\alpha=0$$.

Sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$, la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante et $$f\left(0\right) = 0$$
Donc $$f\left(x\right)\le0$$ pour tout $$x\in\left]-\infty;0\right]$$ et $$f\left(x\right)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[0;+\infty\right[$$
On résume cela dans un tableau de signe :

Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-4\le -4\cos \left(x\right)\le 4$$
$$2x^{2}-4\le 2x^{2}-4\cos \left(x\right)\le 2x^{2}+4$$

• D'une part $$\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2}-4=+\infty$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2}+4=+\infty$$.

Attention, ici on ne peut pas conclure avec le théorème des gendarmes.
En effet, les limites doivent êtres finies.
Dans ce cas, on va utiliser le théorème de comparaison.
Comme $$\lim\limits_{x\to -\infty } 2x^{2}-4=+\infty$$ et que $$2x^{2}-4\le2x^{2}-4\cos \left(x\right)$$.
Alors, d'après le théorème de comparaison

Soit $$x\in \mathbb{R}$$, on sait que :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-4\le -4\cos \left(x\right)\le 4$$
$$2x^{2}-4\le 2x^{2}-4\cos \left(x\right)\le 2x^{2}+4$$

• D'une part $$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{2}-4=+\infty$$
• D'autre part $$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{2}+4=+\infty$$.

Attention, ici on ne peut pas conclure avec le théorème des gendarmes.
En effet, les limites doivent êtres finies.
Dans ce cas, on va utiliser le théorème de comparaison.
Comme $$\lim\limits_{x\to +\infty } 2x^{2}-4=+\infty$$ et que $$2x^{2}-4\le2x^{2}-4\cos \left(x\right)$$.
Alors, d'après le théorème de comparaison

$$g$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$g'\left(x\right)=4x+4\sin \left(x\right)$$
$$g'\left(x\right)=2\times\left(2x+2\sin \left(x\right)\right)$$

Donc $$g'\left(x\right)$$ est du signe de $$f\left(x\right)$$.
Il en résulte donc que :
$$g\left(0\right)=2\times 0^{2}-4\cos \left(0\right)$$ c'est à dire $$g\left(0\right)=-4$$