Limites - Exercice 2

Soit $$x$$ un réel et $$x$$ un réel strictemement positif car nous allons calculer la limite au voisinage de $$+\infty$$.
On a :
$$-1\le {\mathrm{cos} \left(2x\right)\ }\le 1$$
$$-3\le {3\mathrm{cos} \left(2x\right)\ }\le 3$$
$$-3+3x+10\le {3\mathrm{cos} \left(2x\right)\ }+3x+10\le 3+3x+10$$
$$3x+7\le {3\mathrm{cos} \left(2x\right)\ }+3x+10\le 3x+13$$ . Nous allons composer par la fonction $$x\mapsto \frac{1}{x}$$ qui est décroissante sur l'intervalle $$\left]0;+\infty\right[$$ donc l'ordre ne sera pas conservé.
$$\frac{1}{3x+13}\le \frac{1}{{3\mathrm{cos} \left(2x\right)\ }+3x+10}\le \frac{1}{3x+7}$$ . Nous allons maintenant multiplier chaque terme par $$2x+3$$ qui est strictement positif lorsque nous sommes au voisinage de $$+\infty$$.
$$\frac{2x+3}{3x+13}\le \frac{2x+3}{{3\mathrm{cos} \left(2x\right)\ }+3x+10}\le \frac{2x+3}{3x+7}$$
D'une part :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x+3}{3x+13} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{2x+3}{x} \right)}{x\left(\frac{3x+13}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x+3}{3x+13} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{2x}{x} +\frac{3}{x} \right)}{x\left(\frac{3x}{x} +\frac{13}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x+3}{3x+13} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(2+\frac{3}{x} \right)}{x\left(3+\frac{13}{x} \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x+3}{3x+13} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2+\frac{3}{x} }{3+\frac{13}{x} }$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{3}{x}} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3+\frac{13}{x}} & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
D'autre part :
il suffit de faire les mêmes étapes que précédemment et on obtiendra :
D'après le théorème des gendarmes, on peut alors affirmer que : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2x+3}{3{\mathrm{cos} \left(2x\right)\ }+3x+10} =\frac{2}{3}$$