Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué - Exercice 3

10 min
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Question 1

Calculer dans un premier temps lim⁡x→+∞x2+4x+3\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}

Correction
Il s’agit d’une limite par composition.\blue{\text{Il s'agit d'une limite par composition.}}
On commence par calculer lim⁡x→+∞x2+4x+3\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} }x^2+4 x+3 . Ainsi : lim⁡x→+∞x2+4x+3=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } x^2+4 x+3 ={\color{blue}+\infty}
On pose X=x2+4x+3X=x^2+4 x+3 . Lorsque xx tend vers +∞{\color{red}+\infty} alors XX tend vers +∞{\color{blue}+\infty}.
Or : lim⁡X→+∞X=+∞\lim\limits_{X\to {\color{blue}+\infty}} \sqrt{X }={\color{green}+\infty}
Par composition :
lim⁡x→+∞x2+4x+3=+∞\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty}} \sqrt{x^2+4 x+3 }={\color{green}+\infty}

Question 2

Puis ensuite calculer lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x+2)\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)

Correction
lim⁡x→+∞x2+4x+3=+∞lim⁡x→+∞x+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
  • Lorsque l'on rencontre une limite avec une formea−b\sqrt{a} -b , il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué a+b\sqrt{a} +b afin d'obtenir une forme a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt{a} -b =\frac{\left(\sqrt{a} -b \right)\left(\sqrt{a} +b \right)}{\sqrt{a} +b } .
lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x+2)=lim⁡x→+∞(x2+4x+3−(x+2))(x2+4x+3+(x+2))(x2+4x+3+(x+2))\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)\right)\left(\sqrt{x^2+4 x+3}+(x+2)\right)}{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}+(x+2)\right)}
lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x+2)=lim⁡x→+∞(x2+4x+3)2−(x+2)2(x2+4x+3+(x+2))\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}\right)^2-(x+2)^2}{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}+(x+2)\right)}
lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x+2)=lim⁡x→+∞(x2+4x+3)2−(x2+4x+4)(x2+4x+3+(x+2))\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}\right)^2-(x^2+4x+4)}{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}+(x+2)\right)}
lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x+2)=lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x2+4x+4)(x2+4x+3+(x+2))\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^2+4 x+3-(x^2+4x+4)}{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}+(x+2)\right)}
lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x+2)=lim⁡x→+∞x2+4x+3−x2−4x−4(x2+4x+3+(x+2))\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^2+4 x+3-x^2-4x-4}{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}+(x+2)\right)}
lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x+2)=lim⁡x→+∞−1(x2+4x+3+(x+2))\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1}{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}+(x+2)\right)}
lim⁡x→+∞−1=−1lim⁡x→+∞x2+4x+3+(x+2)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } -1 } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x^2+4 x+3}+(x+2) & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡x→+∞−1(x2+4x+3+(x+2))=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1}{\left(\sqrt{x^2+4 x+3}+(x+2)\right)}=0

Finalement : lim⁡x→+∞x2+4x+3−(x+2)=0\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+4 x+3}-(x+2)=0

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