Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 2

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } -x^{2} -3x-5 } & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée.
Pour lever cette indétermination, factorisons par $$x^{2}$$.
Cela donne :
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} -x^{2} -3x-5={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{2} \left(\frac{e^{x} -x^{2} -3x-5}{x^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} -x^{2} -3x-5={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{2} \left(\frac{e^{x} }{x^{2} } -\frac{x^{2} }{x^{2} } -\frac{3x}{x^{2} } -\frac{5}{x^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} e^{x} -x^{2} -3x-5={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} x^{2} \left(\frac{e^{x} }{x^{2} } -1-\frac{3}{x} -\frac{5}{x^{2} } \right)$$
On a alors :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{2} } -1-\frac{3}{x} -\frac{5}{x^{2} }} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$$${\red{\text{par produit :}}}$$$$\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} \left(\frac{e^{x} }{x^{2} } -1-\frac{3}{x} -\frac{5}{x^{2} } \right)=+\infty .$$
$${\purple{\text{Finalement :}}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} -x} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to -\infty } e^{x}} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée $$\infty\times0$$
Pour lever l'indétermination, nous allons développer l'expression.
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} \left(x^{2} -x\right)e^{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{2} e^{x} -xe^{x}$$
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to -\infty } x^{2} e^{x} } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{x\to -\infty }-x e^{x}} & {=} & {0} \end{array}\right\}$$$${\red{\text{par somme :}}}$$$${\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty }} x^{2} e^{x} -xe^{x} =0$$
$${\purple{\text{Finalement :}}}$$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=0$$ au voisinage de $$-\infty$$.

$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +e^{-x} }{2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{2} +\frac{e^{-x} }{2}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +e^{-x} }{2} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} }{2} +\frac{1}{2e^{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{x} }{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{2e^{x} } } & {=} & {0} \end{array}\right\}$$$${\red{\text{par somme :}}}$$$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{x} +e^{-x} }{2}=+\infty$$
$${\purple{\text{Finalement :}}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } e^{2x} +3e^{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 3e^{2x} +9} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ On rencontre ici une forme indéterminée $$\frac{\infty}{\infty}$$
Pour lever cette indétermination, factorisons par $$e^{2x}$$ au numérateur et au dénominateur.
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{2x} +3e^{x} }{3e^{2x} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{2x} \left(\dfrac{e^{2x} +3e^{x} }{e^{2x} } \right)}{e^{2x} \left(\dfrac{3e^{2x} +9}{e^{2x} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{2x} +3e^{x} }{3e^{2x} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\dfrac{e^{2x} +3e^{x} }{e^{2x} } \right)}{\left(\dfrac{3e^{2x} +9}{e^{2x} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{2x} +3e^{x} }{3e^{2x} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\dfrac{e^{2x} }{e^{2x} } +\dfrac{3e^{x} }{e^{2x} } }{\dfrac{3e^{2x} }{e^{2x} } +\dfrac{9}{e^{2x} } }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{2x} +3e^{x} }{3e^{2x} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{1+\dfrac{3e^{x} }{e^{x} \times e^{x} } }{3+\dfrac{9}{e^{2x} } }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{e^{2x} +3e^{x} }{3e^{2x} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{1+\dfrac{3}{e^{x} } }{3+\dfrac{9}{e^{2x} } }$$
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\dfrac{3}{e^{x} } } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty }3+\dfrac{9}{e^{2x} }} & {=} & {3} \end{array}\right\}$$$${\red{\text{par quotient :}}}$$$${\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{1+\dfrac{3}{e^{x} } }{3+\dfrac{9}{e^{2x} } } =\frac{1}{3}$$
$${\purple{\text{Finalement :}}}$$
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=\frac{1}{3}$$ au voisinage de $$+\infty$$.