A faire pour ne pas être surpris aux DS et même au Bac blanc - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n\ge1$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n}\ge0,8$$ .
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{1} =1$$ ainsi $$u_{0} \ge0,8$$.
La propriété $$P_{1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} \ge 0,8$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge 0,8$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \ge 0,8$$ , on multiplie par $$0,5$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$0,5u_{k} \ge 0,8\times0,5$$
$$0,5u_{k} \ge 0,4$$
$$0,5u_{k} +0,4\ge 0,4+0,4$$
$$0,5u_{k} +0,4\ge 0,8$$
$$u_{k+1} \ge 0,8$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{1}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n\ge1$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :

Nous allons étudier le signe de $$u_{n+1}-u_{n}$$.
$$u_{n+1}-u_{n}=0,5u_{n} +0,4-u_{n}$$
$$u_{n+1}-u_{n}=-0,5u_{n} +0,4$$ . Or d'après la question $$1$$, nous savons que $$u_{n}\ge0,8$$.
Il vient alors que :
$$u_{n}\ge0,8$$ équivaut successivement à :
$$-0,5\times u_{n}\le-0,5\times0,8$$ . Nous avons multiplié par $$-0,5$$ qui est négatif, donc nous changeons le sens de l'inégalité.
$$-0,5u_{n}\le-0,4$$
$$-0,5u_{n}+0,4\le0$$. Il en résulte donc que comme : $$u_{n+1}-u_{n}=-0,5u_{n}+0,4$$ alors .
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est bien décroissante.

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$0,8$$ car : $$u_{n} \ge 0,8$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

$$v_{n}=u_{n}-0,8$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -0,8$$ . On remplace l'expression de $$u_{n+1}$$ par $$u_{n+1} =0,5u_{n} +0,4$$.
$$v_{n+1} =0,5u_{n} +0,4-0,8$$
$$v_{n+1} =0,5u_{n} -0,4$$
Or $$v_{n} =u_{n} -0,8$$ donc $$v_{n} +0,8=u_{n}$$
$$v_{n+1} =0,5\left(v_{n} +0,8\right)-0,4$$
$$v_{n+1} =0,5v_{n} +0,5\times 0,8-0,4$$
$$v_{n+1} =0,5v_{n} +0,4-0,4$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,5$$ et de premier terme $$v_{1} =u_{1} -0,8=1-0,8$$ donc $$v_{1} =0,2$$

Tout d'abord, nous allons exprimer $$v_{n}$$ en fonction de $$n$$ .
Ainsi :
On sait que $$v_{n} =u_{n} -0,8$$ donc $$v_{n} +0,8=u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$-1<0,5<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,5\right)^{n-1} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 0,2\times \left(0,5\right)^{n-1} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 0,2\times \left(0,5\right)^{n-1} +0,8=0,8$$
Ainsi :