Epreuve d'enseignement de spécialité Session 13 septembre 2021 Exercice A Jour 2 - Exercice 1

$$\red{\text{Calcul de }}$$ $$\red{u_{1}}$$

$$u_{1} =\frac{3u_{0} +2v_{0} }{5}$$
$$u_{1} =\frac{3\times 16+2\times 5}{5}$$

$$\red{\text{Calcul de }}$$ $$\red{v_{1}}$$

$$v_{1} =\frac{u_{0} +v_{0} }{2}$$
$$v_{1} =\frac{16+5}{2}$$

$$w_{n}=u_{n}-v_{n}$$
$$w_{n+1} =u_{n+1} -v_{n+1}$$
$$w_{n+1} =\frac{3u_{n} +2v_{n} }{5} -\frac{u_{n} +v_{n} }{2}$$
$$w_{n+1} =\frac{2\times \left(3u_{n} +2v_{n} \right)}{2\times 5} -\frac{5\times \left(u_{n} +v_{n} \right)}{5\times 2}$$
$$w_{n+1} =\frac{2\times \left(3u_{n} +2v_{n} \right)}{10} -\frac{5\times \left(u_{n} +v_{n} \right)}{10}$$
$$w_{n+1} =\frac{2\times \left(3u_{n} +2v_{n} \right)-5\times \left(u_{n} +v_{n} \right)}{10}$$
$$w_{n+1} =\frac{6u_{n} +4v_{n} -5u_{n} -5v_{n} }{10}$$
$$w_{n+1} =\frac{u_{n} -v_{n} }{10}$$
$$w_{n+1} =\frac{1}{10} \times \left(u_{n} -v_{n} \right)$$
$$w_{n+1} =0,1\left(u_{n} -v_{n} \right)$$
Ainsi :
Finalement, la suite $$\left(w_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,1$$ et de premier terme $$w_{0} =u_{0} -v_{0}=16-5$$ donc $$w_{0} =11$$
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$, nous savons que : $$w_{n} =11\times\left( 0,1\right)^{n}$$
Comme $$11>0$$ et $$0,1>0$$ alors $$\left( 0,1\right)^{n}>0$$.
On peut alors conclure que .

D'après la question précédente, nous savons que : $$w_{n} =11\times\left( 0,1\right)^{n}$$
Comme $$-1<0,1<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,1\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 11\times \left(0,1\right)^{n} =0$$
Ainsi :

Pour tout entier naturel $$n$$, on a :
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{3u_{n} +2v_{n} }{5} -u_{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{3u_{n} +2v_{n} }{5} -\frac{5u_{n} }{5}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{3u_{n} +2v_{n} -5u_{n} }{5}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2u_{n} +2v_{n} }{5}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{-2}{5} \times \left(u_{n} -v_{n} \right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =-0,4\times \left(u_{n} -v_{n} \right)$$ . On rappelle que : $$u_{n} -v_{n}=w_{n}$$
Finalement :

D'après la question $$3$$, pour tout entier naturel $$n$$, on sait que : $$w_{n}>0$$
Ainsi $$-0,4w_{n}<0$$ .
Il vient alors que : $$u_{n+1} -u_{n} <0$$ car $$u_{n+1} -u_{n} =-0,4w_{n}$$ .
Il en résulte donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est décroissante.

Pour tout entier naturel $$n$$, on rappelle que $$u_{n+1} =\frac{3u_{n} +2v_{n}}{ 5}$$ ; $$u_{0}=16$$.
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} > 5$$ .
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =16$$ ainsi $$u_{0} >5$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} >5$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} > 5$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} >5$$ donc $$3u_{k} >15$$
De plus, d'après les hypothèses $$v_{k}>5$$ et de ce fait $$2v_{k}>10$$
$${\color{red}3u_{k}} > {\color{blue}15}$$ $$\text{et}$$ $${\color{purple}2v_{k}}>{\color{green}10}$$ $$\text{alors}$$ $${\color{red}3u_{k}}+{\color{purple}2v_{k}}> {\color{blue}15}+{\color{green}10}$$
D'où : $$3u_{k}+2v_{k}> 25$$
$$\frac{3u_{k}+2v_{k}}{5}> \frac{25}{5}$$
Il en résulte donc que :
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien : On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$5$$ car : $$u_{n} >5$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

D'après la question $$\lim\limits_{n\to +\infty } w_{n} =0$$ autrement dit $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(u_{n}-v_{n}\right) =0$$.
De plus, les suites $$\left(u_{n} \right)$$ et $$\left(v_{n} \right)$$ sont convergentes et admettent respectivement comme limites $$\ell$$ et $$\ell'$$.
Il en résulte donc que $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n}$$ ce qui implique que $$\ell=\ell'$$ .

Pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$c_{n} = 5u_{n} +4v_{n}$$.
Il vient alors que :
$$c_{n+1} =5u_{n+1} +4v_{n+1}$$
$$c_{n+1} =5\times \left(\frac{3u_{n} +2v_{n} }{5} \right)+4\times \left(\frac{u_{n} +v_{n} }{2} \right)$$
$$c_{n+1} =3u_{n} +2v_{n} +2\times \left(u_{n} +v_{n} \right)$$
$$c_{n+1} =3u_{n} +2v_{n} +2u_{n} +2v_{n}$$
$$c_{n+1} =5u_{n} +4v_{n}$$
Ainsi :
La suite $$\left(c_{n} \right)$$ est constante.

D'après la question précédente, on a démontré que la suite $$\left(c_{n} \right)$$ était constante.
Il nous suffit de calculer un terme de la suite $$\left(c_{n} \right)$$ afin de connaitre l'expression de la suite $$\left(c_{n} \right)$$ .
Nous allons par exemple calculer $$c_{0}$$.
D'où :
$$c_{0} = 5u_{0} +4v_{0}$$
$$c_{0} = 5\times16 +4\times5$$
$$c_{0} = 80+20$$
Ainsi :
Pour tout entier naturel $$n$$ , on peut conclure que : $$c_{n} = 100$$ .

Nous savons que : $$c_{n} = 5u_{n} +4v_{n}$$ et également que : $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n}=\ell$$
Comme $$c_{n} = 100$$ alors $$5u_{n} +4v_{n}=100$$
Il s'ensuit que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(5u_{n} +4v_{n} \right)=100$$
$$5\ell+4\ell=100$$
$$9l=100$$
D'où :