Epreuve d'enseignement de spécialité Session 8 Juin 2021 Exercice 3 - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} > 0$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =1$$ ainsi $$u_{0} >0$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} >0$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} > 0$$
Par hypothèse de récurrence :
$$\blue{\text{D'une part :}}$$ $$u_{k} >0$$ ainsi $$u_{k}+4 >4\red{>0}$$
$$\blue{\text{D'autre part :}}$$ $$u_{k} >0$$ ainsi $$4u_{k}>0$$
On peut donc alors conclure que $$\frac{4u_{k} }{u_{k} +4}>0$$ autrement dit $$u_{k+1}>0$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :

Pour tout entier naturel $$n$$, nous allons étudier le signe de $$u_{n+1}-u_{n}$$ .
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{4u_{n} }{u_{n} +4} -u_{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{4u_{n} }{u_{n} +4} -\frac{u_{n} \left(u_{n} +4\right)}{u_{n} +4}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{4u_{n} -u_{n} \left(u_{n} +4\right)}{u_{n} +4}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{4u_{n} -u_{n} \times u_{n} -u_{n} \times 4}{u_{n} +4}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{4u_{n} -\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} }{u_{n} +4}$$
Ainsi :
D'après la question précédente, nous savons, que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$u_{n} >0$$
Nous pouvons donc affirmer :
$$\blue{\text{D'une part :}}$$ $$-\left(u_{n} \right)^{2} <0$$
$$\blue{\text{D'autre part :}}$$ $$u_{n} +4 >0$$
Il en résulte donc que $$\frac{-\left(u_{n} \right)^{2} }{u_{n} +4} <0$$
Finalement, pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$u_{n+1} -u_{n} <0$$
La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est décroissante.

Nous avons démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$0$$ car : $$u_{n} >0$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

Pour tout entier naturel $$n$$, on a :
$$v_{n+1} -v_{n} =\frac{4}{u_{n+1} } -\frac{4}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} -v_{n} =\frac{4}{\left(\frac{4u_{n} }{u_{n} +4} \right)} -\frac{4}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} -v_{n} =4\times \frac{\left(u_{n} +4\right)}{4u_{n} } -\frac{4}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} -v_{n} =\frac{u_{n} +4}{u_{n} } -\frac{4}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} -v_{n} =\frac{u_{n} +4-4}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} -v_{n} =\frac{u_{n} }{u_{n} }$$
Ainsi :
La suite $$\left(v_{n}\right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r = 1$$.

La suite $$\left(v_{n}\right)$$ est une suite arithmétique de raison $$r = 1$$ et de premier terme $$v_{0}=\frac{4}{u_{0}}=\frac{4}{1}$$ c'est à dire $$v_{0}=4$$.
Il en résulte donc que : $$u_{n} =4 +n\times 1$$
Autrement dit :

Pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$v_{n}=\frac{4}{u_{n}}$$ alors $$u_{n}=\frac{4}{v_{n}}$$ .
Il en résulte donc que :

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4} & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4+n } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\red{\text{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$