Epreuve d'enseignement de spécialité Session Amérique du Nord mai 2021 Exercice 2 - Exercice 1

$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$u_{1}$$ désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année $$2020+1$$.
$$u_{1} =0,75u_{0} \left(1-0,15u_{0} \right)$$
$$u_{1} =0,75\times 0,6\times \left(1-0,15\times 0,6\right)$$
D'où :
Il y a $$410$$ individus présents sur l’île au début de l’année $$2021$$ .
$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$u_{2}$$ désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année $$2020+2$$.
$$u_{2} =0,75u_{1} \left(1-0,15u_{1} \right)$$
$$u_{2} =0,75\times 0,4095\times \left(1-0,15\times 0,4095\right)$$
D'où :
Il y a $$288$$ individus présents sur l’île au début de l’année $$2022$$ .

Soit $$x\in \left[0; 1\right]$$
Soit $$f\left(x\right)=0,75x\left(1-0,15x\right)$$ . On commence par développer l'expression de $$f$$. Ainsi :
$$f\left(x\right)=0,75x\times1+0,75x\times\left(-0,15x\right)$$
$$f\left(x\right)=0,75x-0,1125x^{2}$$
Nous allons maintenant calculer la dérivée de $$f$$.
$$f$$ est dérivable sur $$\left[0; 1\right]$$.
$$f'\left(x\right)=0,75-0,1125\times 2x$$
Ainsi :
De plus :
$$0,75-0,225x\ge 0$$
$$-0,225x\ge -0.75$$
$$x\le \frac{-0.75}{-0,225}$$
$$x\le \frac{10}{3}$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;\frac{10}{3} \right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Ainsi, si $$x\in\left[0; 1\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Soit $$x\in \left[0; 1\right]$$
$$f\left(x\right)=x$$ équivaut successivement à :
$$0,75x\left(1-0,15x\right)=x$$
$$0,75x\times 1-0,75x\times \left(-0,15x\right)=x$$
$$0,75x-0,1125x^{2} =x$$
$$0,75x-0,1125x^{2} -x=0$$
$$-0,25x-0,1125x^{2} =0$$
$$x\left(-0,25-0,1125x\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
$$x=0$$ ou $$-0,25-0,1125x=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui est déjà résolu :) .

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$-0,25-0,1125x=0$$ qui donne $$-0,1125x=0,25$$ . D'où : $$x=\frac{0,25}{-0,1125}=-\frac{20}{9}$$

Or $$0\in \left[0; 1\right]$$ et $$-\frac{20}{9}\notin \left[0; 1\right]$$
La solution de l'équation $$f\left(x\right)=x$$ dans l'intervalle $$\left[0; 1\right]$$ est alors :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le u_{n+1} \le u_{n} \le 1$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On a vu précédemment que $$u_{0} =0,6$$ et $$u_{1} =0,4095$$.
Ainsi : $$0\le u_{1} \le u_{0} \le 1$$
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$0 \le u_{k} \le u_{k+1} \le 1$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$0 \le u_{k+1} \le u_{k+2} \le 1$$
Par hypothèse de récurrence,
$$0\le u_{k+1} \le u_{k} \le 1$$ , or $$f:x\mapsto 0,75x\left(1-0,15x\right)$$ une fonction croissante sur $$\left[0;1\right]$$ . L'ordre est donc conservé , ainsi :
$$f\left(0\right) \le f\left(u_{k+1}\right) \le f\left(u_{k}\right) \le f\left(1\right)$$ . Comme $$f\left(x\right)=0,75x\left(1-0,15x\right)$$ alors : $$f\left(u_{k} \right)=u_{k+1}$$ et $$f\left(u_{k+1} \right)=u_{k+2}$$ . Il vient alors que :
$$f\left(0\right) \le u_{k+2} \le u_{k+1} \le f\left(1\right)$$ .
De plus : $$f\left(0\right)=0,75\times0\left(1-0,15\times0\right)=0$$ et $$f\left(1\right)=0,75\times1\left(1-0,15\times1\right)=0,6375$$
Ainsi :
$$0 \le u_{k+2} \le u_{k+1} \le 0,6375\red{\le 1}$$
Finalement : $$0 \le u_{k+2} \le u_{k+1} \le 1$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, $$0\le u_{n+1} \le u_{n} \le 1$$

D'après la question $$4$$, on a démontré que pour tout entier naturel $$n$$, $$0\le u_{n+1} \le u_{n} \le 1$$.
Comme $$u_{n+1} \le u_{n}$$ cela signifie donc que $$u_{n+1} - u_{n} \le0$$ . La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante .
De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est minorée par $$0$$ car : $$u_{n} \ge 0$$.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

Comme la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente alors elle admet une limite que l'on note $$\ell$$.
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est donc convergente et définie par $$u_{n+1} =f\left(u_{n} \right)$$ .
La fonction $$f:x\mapsto 0,75x\left(1-0,15x\right)$$ est continue sur $$\left[0; 1\right]$$.
D'après le théorème du point fixe, $$\ell$$ est solution de l'équation
D'après la question $$3$$, nous savons que $$\ell=0$$ est l’unique réel vérifiant : $$f\left(\ell\right)=\ell$$ avec $$\ell \in \left[0; 1\right]$$.

$$u_{n}$$ désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année $$2020+n$$.
D'après la question $$6$$, nous savons que : $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0$$
Le nombre d'individus décroit et ce nombre d'individus tend vers $$0$$ .
L'intuition du biologiste s'avère donc vraie.

L’algorithme calcule les termes de la suite et l'algorithme s'arrêtera lorsque la valeur du terme recherché sera inférieur à $$0,02$$ .
Il s’arrête à $$n = 11$$ car $$u_{10}\approx 0,025>0,02$$ et $$u_{11}\approx 0,019<0,02$$
L’espèce sera donc menacée d’extinction en $$2020+11=2031$$