Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

$$f$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
On reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2x+3$$ et $$v\left(x\right)=x+4$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{2\times \left(x+4\right)-\left(2x+3\right)\times 1}{\left(x+4\right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\frac{2x+8-2x-3}{\left(x+4\right)^{2} }$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=\frac{5}{\left(x+4\right)^{2} }$$
Pour tout réel, le numérateur $$5$$ est strictement positif ainsi que le dénominateur $$\left(x+4\right)^{2}$$est strictement positif.
Il en résulte que : $$f'\left(x\right)>0$$.
Nous traduisons cela dans un tableau de variation :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le u_{n} \le 1$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =0$$ et que $$0\le u_{0} \le 1$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$0\le u_{k} \le 1$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$0\le u_{k+1} \le 1$$
Par hypothèse de récurrence :
D'une part : $$u_{k} \ge 0$$ donc $$2u_{k} +3\ge 0$$ et $$u_{k} +4\ge 0$$ . Ainsi $$\frac{2u_{k} +3}{u_{k} +4} \ge 0$$ donc $$u_{k+1} \ge 0$$
D'autre part, calculons $$u_{k+1} -1$$ puis étudions le signe de $$u_{k+1} -1$$.
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +3}{u_{k} +4} -1$$ équivaut successivement à :
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +3}{u_{k} +4} -\frac{u_{k} +4}{u_{k} +4}$$
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +3-\left(u_{k} +4\right)}{u_{k} +4}$$
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +3-u_{k} -4}{u_{k} +4}$$
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +3-u_{k} -4}{u_{k} +4}$$
$$u_{k+1} -1=\frac{u_{k} -1}{u_{k} +4}$$ , or par hypothèse de récurrence, on a $$0\le u_{k} \le 1$$.
Donc $$u_{k} +4>0$$ et $$u_{k} -1\le 0$$, donc $$\frac{u_{k} -1}{u_{k} +4} \le 0$$.
Finalement $$u_{k+1} -1\le 0$$ d'où $$u_{k+1} \le 1$$
On a montré que $$u_{k+1} \ge 0$$ et $$u_{k+1} \le 1$$, il vient alors que $$0\le u_{k+1} \le 1$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$0\le u_{n} \le 1$$ .

• On a montré que $$0\le u_{n} \le 1$$ ce qui permet d'affirmer que $$u_{n+1} =\frac{2u_{n} +3}{u_{n} +4}$$ est bien définie car le dénominateur ne peut pas s'annuler.
• Pour déterminer le sens de variation de la suite $$\left(u_{n} \right)$$, on va procéder par récurrence.

Tout d'abord, calculons $$u_{1} =\frac{2u_{0} +3}{u_{0} +4} =\frac{3}{4}$$
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n+1} \ge u_{n}$$ .
En effet si $$u_{n+1} \ge u_{n}$$ alors $$u_{n+1} -u_{n} \ge 0$$, ce qui signifie que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =0$$ et $$u_{1} =\frac{3}{4}$$ ainsi $$u_{1} \ge u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge u_{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+2} \ge u_{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k+1} \ge u_{k}$$ . Or la fonction $$f$$ est croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$, ainsi
$$f\left(u_{k+1} \right)\ge f\left(u_{k} \right)$$ , l'ordre est donc conservé.
$$u_{k+2} \ge u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n+1} \ge u_{n}$$ . Autrement dit, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.

La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante et majorée par $$1$$.
Il en résulte que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente vers une limite réelle notée $$l$$.

$$v_{n} =\frac{u_{n} -1}{u_{n} +3}$$
$$v_{n+1} =\frac{u_{n+1} -1}{u_{n+1} +3}$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{2u_{n} +3}{u_{n} +4} -1}{\frac{2u_{n} +3}{u_{n} +4} +3}$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{2u_{n} +3-\left(u_{n} +4\right)}{u_{n} +4} }{\frac{2u_{n} +3+3\times \left(u_{n} +4\right)}{u_{n} +4} }$$
$$v_{n+1} =\frac{\frac{2u_{n} +3-u_{n} -4}{u_{n} +4} }{\frac{2u_{n} +3+3u_{n} +12}{u_{n} +4} }$$

$$v_{n+1} =\frac{2u_{n} +3-u_{n} -4}{2u_{n} +3+3u_{n} +12}$$
$$v_{n+1} =\frac{u_{n} -1}{5u_{n} +15}$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{5} \left(\frac{u_{n} -1}{u_{n} +3} \right)$$ .
Autrement dit :
$$v_{n}$$ est une suite géométrique de raison $$q=\frac{1}{5}$$ et de premier terme $$v_{0} =\frac{u_{0} -1}{u_{0} +3} =-\frac{1}{3}$$

Ainsi :

On sait que : $$v_{n} =\frac{u_{n} -1}{u_{n} +3}$$
Ainsi : $$v_{n} \times \left(u_{n} +3\right)=u_{n} -1$$
$$v_{n} \times u_{n} +3\times v_{n} =u_{n} -1$$
$$v_{n} \times u_{n} -u_{n} =-3\times v_{n} -1$$
$$u_{n} \times \left(v_{n} -1\right)=-3\times v_{n} -1$$
Ainsi :

Comme $$u_{n} =\frac{-3v_{n} -1}{v_{n} -1}$$ et $$v_{n} =\left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n}$$, il en résulte que :

Comme $$-1\le \frac{1}{5} \le 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{5} \right)^{n} =0$$ ainsi $$\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} =0$$ donc $$\lim\limits_{n\to +\infty } -3\times \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1=-1$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{5} \right)^{n} =0$$ ainsi $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} =0$$ donc $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1=-1$$
Ainsi : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-3\times \left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1}{\left(-\frac{1}{3} \right)\times \left(\frac{1}{5} \right)^{n} -1} =1$$
Finalement :