Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} \ge -3$$ (c'est la traduction mathématique d'une suite minorée par $$-3$$).
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =-1$$ ainsi $$u_{0} \ge -3$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} \ge -3$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge -3$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \ge -3$$ , on multiplie par $$\frac{2}{3}$$ de part et d'autre de l'inégalité :
$$\frac{2}{3} u_{k} \ge -3\times \frac{2}{3}$$
$$\frac{2}{3} u_{k} \ge -2$$ , on ajoute $$-1$$ de part et d'autre de l'inégalité :
$$\frac{2}{3} u_{k}-1 \ge -3$$ Il vient alors que :
$$u_{k+1} \ge -3$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n} \ge -3$$ . Autrement dit , la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est bien minorée par $$-3$$

Nous devons étudier le signe de $$v_{n+1} -v_{n}$$. Il vient alors que :
$$v_{n+1} -v_{n}= \frac{2}{3}v_{n}-1-v_{n}$$ d'où : $$v_{n+1} -v_{n}= -\frac{1}{3}v_{n}-1$$
Or, d'après la question précédente, on sait que pour tout entier naturel $$n$$, on a : $$v_{n} \ge -3$$. Il en résulte que :
$$v_{n} \ge -3$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{1}{3} v_{n} \le -3\times \left(-\frac{1}{3}\right)$$ . Nous avons ici multiplié par $$\left(-\frac{1}{3}\right)$$ de part et d'autre de l'inégalité et de ce fait il ne faut pas oublier de changer le sens de l'inégalité.
$$-\frac{1}{3} v_{n} \le 1$$
$$-\frac{1}{3} v_{n} -1\le 0$$
$$v_{n+1} -v_{n} \le 0$$
La suite $$\left(v_{n} \right)$$ est décroissante.

On a montré que la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est minorée par $$-3$$ et que la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est décroissante. D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.

On sait que la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.
ainsi :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\ell$$ et par unicité de la limite on a donc : $$\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n+1} =\ell$$
Or : $$v_{n+1} =\frac{2}{3}v_{n}-1$$
Par passage à la limite, nous peut alors écrire que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{3}v_{n}-1$$
Ce qui nous donne :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{3}v_{n}-1 =\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n}$$ comme $$\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =\ell$$ et $$\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n+1} =\ell$$ ( unicité de la limite ). D'après le théorème du point fixe, on a :
$$\frac{2}{3}\ell-1=\ell$$ . Il faut maintenant résoudre cette équation :
$$\frac{2}{3}\ell-\ell=1$$
$$-\frac{1}{3}\ell=1$$
Ainsi :
La suite $$\left(v_{n} \right)$$ converge vers le réel $$\ell=-3$$.