Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 2

Il nous faut entrer la formule

La valeur des termes de la suite $$(u_{n})$$ diminuent. Nous pouvons conjecturer que la suite $$(u_{n})$$ semble décroissante.

Les termes de la suite $$(u_{n})$$ s'approchent de plus en plus de la valeur $$0$$. La suite $$(u_{n})$$ semble converger vers $$0$$.

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} : u_{n} >0$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =1$$ et que $$u_{0}>0$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} >0$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} >0$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} >0$$ et donc $$u_{k}+8 >0$$ . Ainsi le numérateur $$u_{k} >0$$ et le dénominateur $$u_{k}+8 >0$$.
De ce fait : $$u_{k+1} =\frac{u_{k} }{u_{k} +8}>0$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :

Pour étudier les variations de la suite $$(u_{n})$$, nous allons étudier le signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$.
Ainsi :
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{u_{n} }{u_{n} +8} -u_{n}$$
$$u_{n+1} -u_{n} =\frac{{\color{blue}u_{n}} }{u_{n} +8} -{\color{blue}u_{n}}$$ . Nous allons factoriser par $${\color{blue}u_{n}}$$
$$u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}u_{n}} \left(\frac{1}{u_{n} +8} -1\right)$$ . Nous allons maintenant tout mettre au même dénominateur.
$$u_{n+1} -u_{n} =u_{n} \left(\frac{1}{u_{n} +8} -\frac{u_{n} +8}{u_{n} +8} \right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =u_{n} \left(\frac{1-\left(u_{n} +8\right)}{u_{n} +8} \right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =u_{n} \left(\frac{1-u_{n} -8}{u_{n} +8} \right)$$
$$u_{n+1} -u_{n} =u_{n} \left(\frac{-u_{n} -7}{u_{n} +8} \right)$$
Nous avons vu à la question $$5$$, que pour tout entier naturel $$n$$,
Ainsi, on vérifie facilement que $$u_{n} +8>0$$ et que $$-u_{n} -7<0$$.
Finalement : $$u_{n} \left(\frac{-u_{n} -7}{u_{n} +8} \right)<0$$
Il en résulte donc que $$u_{n+1} -u_{n}<0$$.
La suite $$(u_{n})$$ est donc décroissante.

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$0$$ car : $$u_{n} \ge 0$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$l$$.

$$v_{n} =1+\frac{7}{u_{n} }$$
$$v_{n} -1=\frac{7}{u_{n} }$$
$$\frac{v_{n} -1}{1} =\frac{7}{u_{n} }$$
$$\frac{1}{v_{n} -1} =\frac{u_{n} }{7}$$

$$v_{n+1} =1+\frac{7}{u_{n+1} }$$
$$v_{n+1} =1+\frac{7}{\left(\frac{u_{n} }{u_{n} +8} \right)}$$
$$v_{n+1} =1+\frac{7\left(u_{n} +8\right)}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} =1+\frac{7u_{n} +56}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} =1+\frac{7u_{n} }{u_{n} } +\frac{56}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} =1+7+\frac{56}{u_{n} }$$
$$v_{n+1} =8+\frac{56}{u_{n} }$$ . Or d'après la question $$8$$ .
$$v_{n+1} =8+\frac{56}{\left(\frac{7}{v_{n} -1} \right)}$$
$$v_{n+1} =8+56\times \frac{\left(v_{n} -1\right)}{7}$$
$$v_{n+1} =8+8\left(v_{n} -1\right)$$
$$v_{n+1} =8+8v_{n} -8$$
$$v_{n+1} =8v_{n}$$
Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=8$$ et de premier terme $$v_{0} =1+\frac{7}{u_{0} }$$ donc $$v_{0} =1+\frac{7}{1 }=8$$

Ainsi :

D'après la question $$8$$ , nous avons vu que
Or nous savons d'après la question $$10$$ que : $$v_{n} =8\times 8^{n}= 8^{n+1}$$
Ainsi :

Comme $$8>1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 8^{n+1} =+\infty$$
Finalement :
Ainsi :