La récurrence - Exercice 10

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le u_{n} \le 1$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =0$$ et que $$0\le u_{0} \le 1$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$0\le u_{k} \le 1$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$0\le u_{k+1} \le 1$$
Par hypothèse de récurrence :
D'une part $$u_{k} \ge 0$$ donc $$2u_{k} +1\ge 0$$ et $$u_{k} +2\ge 0$$ . Ainsi $$\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} \ge 0$$ donc $$u_{k+1} \ge 0$$
D'autre part, calculons $$u_{k+1} -1$$ puis étudions le signe de $$u_{k+1} -1$$.
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} -1$$ équivaut successivement à :
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1}{u_{k} +2} -\frac{u_{k} +2}{u_{k} +2}$$
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1-\left(u_{k} +2\right)}{u_{k} +2}$$
$$u_{k+1} -1=\frac{2u_{k} +1-u_{k} -2}{u_{k} +2}$$
$$u_{k+1} -1=\frac{u_{k} -1}{u_{k} +2}$$ , or par hypothèse de récurrence, on a $$0\le u_{k} \le 1$$.
Donc $$u_{k} +2>0$$ et $$u_{k} -1\le 0$$, donc $$\frac{u_{k} -1}{u_{k} +2} \le 0$$. Finalement $$u_{k+1} -1\le 0$$ d'où $$u_{k+1} \le 1$$
On a montré que $$u_{k+1} \ge 0$$ et $$u_{k+1} \le 1$$, il vient alors que $$0\le u_{k+1} \le 1$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :