La récurrence - Exercice 16

Pour tout entier naturel $$n$$ , posons la propriété $$P_{n} :(1+a)^n \geq 1+n a$$ .
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
Si $$n=0$$, alors :
D'une part, $$(1+a)^n=(1+a)^0=1$$.
D'autre part, $$1+n a=1+0 \times a=1$$.
Donc $$(1+a)^n \geq 1+n a$$ pour $$n=0$$.
La propriété $$\left(P_n\right)$$ est donc vraie pour $$n=0$$.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$(1+a)^k \geq 1+k a$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$(1+a)^{k+1} \geq 1+(k+1) a$$
Comme $$a>0$$, alors $$1+a>0$$, donc en multipliant par $$1+a$$ dans chaque membre :
$$(1+a)^k(1+a) \geq(1+k a)(1+a)$$
$$(1+a)^{k+1} \geq 1+a+k a+k a^2$$
$$(1+a)^{k+1} \geq 1+(k+1) a+k a^2$$
Or $$k a^2 \geq 0$$, donc $$1+(k+1) a+k a^2 \geq 1+(k+1) a$$, donc $$(1+a)^{k+1} \geq 1+(k+1) a$$
La propriété $$\left(P_k\right)$$ est donc héréditaire.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :