La récurrence - Exercice 8

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} : S_{n} =\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$
Rappelons que $$S_{n} =1^{3} +2^{3} +3^{3} +4^{3} +\ldots +n^{3}$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
Pour $$n=1$$, on a $$S_{n} =1^{3} =1$$ et $$S_{1} =\frac{1^2\times(1+1)^2}{4} =1$$ .
La propriété $$P_{1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$S_{k} =\frac{k^2(k+1)^2}{4}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)^2(k+2)^2}{4}$$
Par hypothèse de récurrence :
$$S_{k} =\frac{k^2(k+1)^2}{4}$$ , on rajoute $$\left(k+1\right)^{3}$$ de part et d'autre de l'égalité
$$S_{k} +\left(k+1\right)^{2} =\frac{k^2(k+1)^2}{4} +\left(k+1\right)^{3}$$ (apparait maintenant dans le membre de gauche $$S_{k+1}$$). En effet : $$S_{k+1}=S_{k}+\left(k+1\right)^{3}$$
$$S_{k+1} =\frac{k^2(k+1)^2}{4} +\left(k+1\right)^{3}$$ (on va mettre tout au même dénominateur dans le membre de droite)
$$S_{k+1} =\frac{k^2(k+1)^2}{4} +\frac{4\left(k+1\right)^{3} }{4}$$
$$S_{k+1} =\frac{k^2(k+1)^2}{4} +\frac{4\left(k+1\right)^{2}\left(k+1\right) }{4}$$
$$S_{k+1} =\frac{\red{\left(k+1\right)^{2}}k^2}{4} +\frac{4\red{\left(k+1\right)^{2}}\left(k+1\right) }{4}$$ , on factorise maintenant par $$\red{\left(k+1\right)^{2}}$$. Il vient alors :
$$S_{k+1} =\frac{\red{\left(k+1\right)^{2}}\times \left[k^2+4\left(k+1\right)\right]}{4}$$
$$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)^{2}\times \left[\pink{k^{2} +4k+4}\right]}{4}$$
Or on veut montrer que $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)^{2}\pink{\left(k+2\right)^{2}}}{4}$$
On développe $$\pink{\left(k+2\right)^{2}}$$ et on vérifie que ça donne également $$\pink{k^{2} +4k+4}$$ .
Comme $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)^{2}\times \left[\pink{k^{2} +4k+4}\right]}{4}$$ alors on a montré que $$S_{k+1} =\frac{\left(k+1\right)^{2}\pink{\left(k+2\right)^{2}}}{4}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{1}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a bien :