Limites de suites : lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 2

10 min
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Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=6n−23n+4u_{n} =\frac{6n-2}{3n+4}

Correction
lim⁡n→+∞6n−2=+∞lim⁡n→+∞3n+4=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6n-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3n+4} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
on va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞6n−23n+4=lim⁡n→+∞n(6n−2n)n(3n+4n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6n-2}{3n+4} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{6n-2}{n} \right)}{n\left(\frac{3n+4}{n} \right)}
lim⁡n→+∞6n−23n+4=lim⁡n→+∞n(6nn−2n)n(3nn+4n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6n-2}{3n+4} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{6n}{n} -\frac{2}{n} \right)}{n\left(\frac{3n}{n} +\frac{4}{n} \right)}
lim⁡n→+∞6n−23n+4=lim⁡n→+∞n(6−2n)n(3+4n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6n-2}{3n+4} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(6-\frac{2}{n} \right)}{n\left(3+\frac{4}{n} \right)} . On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞6n−23n+4=lim⁡n→+∞6−2n3+4n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6n-2}{3n+4} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{6-\frac{2}{n} }{3+\frac{4}{n} }
lim⁡n→+∞6−2n=6lim⁡n→+∞3+4n=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6-\frac{2}{n} } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3+\frac{4}{n} } & {=} & {3} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} lim⁡n→+∞6−2n3+4n=63\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6-\frac{2}{n} }{3+\frac{4}{n} } =\frac{6}{3}
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞6n−23n+4=2\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6n-2}{3n+4} =2
Question 2

un=4n−3n2+nu_{n} =\frac{4n-3}{n^{2}+n}

Correction
lim⁡n→+∞4n−3=+∞lim⁡n→+∞n2+n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n-3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+n} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour lever cette indeˊtermination\blue{\text{Pour lever cette indétermination}}
on va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{on va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞4n−3n2+n=lim⁡n→+∞n(4n−3n)n2(n2+nn2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-3}{n^{2} +n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{4n-3}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} +n}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞4n−3n2+n=lim⁡n→+∞n(4nn−3n)n2(n2n2+nn2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-3}{n^{2} +n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{4n}{n} -\frac{3}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{n}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞4n−3n2+n=lim⁡n→+∞n(4−3n)n2(1+1n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-3}{n^{2} +n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(4-\frac{3}{n} \right)}{n^{2} \left(1+\frac{1}{n} \right)} On simplifie par nn au numérateur et au dénominateur, et on obtient :
lim⁡n→+∞4n−3n2+n=lim⁡n→+∞4−3nn(1+1n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-3}{n^{2} +n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4-\frac{3}{n} }{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}
lim⁡n→+∞4−3n=4lim⁡n→+∞n(1+1n)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\frac{3}{n} } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{1}{n}\right) } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}} lim⁡n→+∞4−3nn(1+1n)=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4-\frac{3}{n} }{n\left(1+\frac{1}{n} \right)} =0
Finalement :\purple{\text{Finalement :}}
lim⁡n→+∞4n−3n2+n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4n-3}{n^{2}+n} =0
On rappelle que : Nombre∞=0\frac{Nombre}{\infty } =0 .

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