Limites de suites : lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 2

Nous allons commencer par écrire la suite avec les puissances décroissantes. Nous avons alors : $$u_{n} =-4n^{2}+n -9$$
De plus :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -4n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n-9} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par addition, nous avons une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{n^{2} }$$.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -4n^{2} +n-9={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-4n^{2} +n-9}{n^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -4n^{2} +n-9={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-\frac{4n^{2} }{n^{2} } +\frac{n}{n^{2} } -\frac{9}{n^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -4n^{2} +n-9={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-4+\frac{1}{n} -\frac{9}{n^{2} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -4+\frac{1}{n} -\frac{9}{n^{2} }} & {=} & {-4} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-4+\frac{1}{n} -\frac{9}{n^{2} } \right)=-\infty$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 7n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -5n} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par addition, nous avons une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{n^{3} }$$.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 7n^{3} -5n={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{7n^{3} -5n}{n^{3} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 7n^{3} -5n={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{7n^{3} }{n^{3} } -\frac{5n}{n^{3} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 7n^{3} -5n={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(7-\frac{5}{n^{2} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 7-\frac{5}{n^{2} } } & {=} & {7} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(7-\frac{5}{n^{2} } \right)=+\infty$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 9n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -8n-5} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\}$$ par addition, nous avons une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{n^{2} }$$.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 9n^{2} -8n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{9n^{2} -8n-5}{n^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 9n^{2} -8n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{9n^{2} }{n^{2} } -\frac{8n}{n^{2} } -\frac{5}{n^{2} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 9n^{2} -8n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(9-\frac{8}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 9-\frac{8}{n} -\frac{5}{n^{2} } } & {=} & {9} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(9-\frac{8}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)=+\infty$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{3}-n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par addition, nous avons une forme indéterminée.
$$\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}}$$ $$\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}}$$ $$\blue{n^{3} }$$.
Il vient alors que :
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{3} -n^{2} +n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{-n^{3} -n^{2} +n+1}{n^{3} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{3} -n^{2} +n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-\frac{n^{3} }{n^{3} } -\frac{n^{2} }{n^{3} } +\frac{n}{n^{3} } +\frac{1}{n^{3} } \right)$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -n^{3} -n^{2} +n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-1-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -1-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } } & {=} & {-1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par produit :}}$$$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-1-\frac{1}{n} +\frac{1}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)=-\infty$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$